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Question

Me gustaría utilizar la secuencia de definición de un límite para mostrar $\lim_{x\to 0} \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1} = 1$.

He aquí la definición que estoy usando:

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Dada una función de $f : D \rightarrow \mathbb{R}$ y un límite de punto de $x_{0}$ de su dominio $D$, para un número $\ell$, escribimos $$\lim_{x \to x_{0}} f(x) = \ell $$ provided that whenever $\{x_{n}\}$ is a sequence in $D \{x_{0}\}$ that converges to $x_{0}$, we have $$\lim_{n\to\infty} f(x_{n}) = \ell$$

Tenga en cuenta que este no es el estándar $\epsilon-\delta$ definición de un límite.

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Aquí está mi intento de demostrar esta afirmación:

Deje $\{x_{n}\}$ ser una secuencia en $\mathbb{R} - \{0\}$ que converge a $0$. Para todos los $\epsilon > 0$, $\exists N$ tales que

$$|x_{n} - 0| < \epsilon $$

para todos los $n \geq N$. Para demostrar la reclamación, que requieren $\forall \epsilon > 0$, $\exists N'$ tales que

$$\left|\frac{x_{n} - 1}{\sqrt{x_{n}} - 1} - 1\right| < \epsilon$$

para todos los $n \geq N'$. Sin embargo,

$$\left|\frac{x_{n} - 1}{\sqrt{x_{n}} - 1} - 1\right| = \left|\frac{(\sqrt{x_{n}} + 1) (\sqrt{x_{n}} - 1)}{\sqrt{x_{n}} - 1} - 1\right| = $$ $$|\sqrt{x_{n}} + 1 - 1| = |\sqrt{x_{n}}| \leq |x_{n}| = |x_{n} - 0|,$$

por lo que el establecimiento $N' = N$ completa la prueba.

Es esto correcto?

Answer 1

Como @DonAntonio se menciona en los comentarios, la desigualdad de $|\sqrt{x_n}| \leq |x_n|$ no es necesariamente el caso, especialmente cuando se $x < 1$ (que a su límite pasa a través de).

Usted puede agregar una rápida prueba de que $\lim_{x \to 0} \sqrt{x} = 0$ con un secuencial de límite. Deje $\{x_n\}$ ser algunos sucesión convergente a cero. Así que, para todos los $n \geq N$, queremos $|\sqrt{x_n}| < \epsilon \implies |x_n| < \epsilon^2 $ para algunos $N$. Sabemos que existe una $N^\prime$ tal que $|x_n| < \epsilon^\prime$ para todos los $n \geq N^\prime$. Deje $\epsilon^\prime = \epsilon^2$; elija $N^\prime$ para cumplir con esta desigualdad, y deje $N = N^\prime$.

Como una observación, una ordinaria límite siempre corresponde a una secuencia de límite para los números reales. Pero este no es necesariamente el caso cuando el espacio no es metrizable