¿Hay alguna diferencia esencial entre las pruebas de Cartwright y Niven sobre la irracionalidad de $\pi$ ?

Question

En un apéndice de la tercera edición de Inferencia científica , escribió Harold Jeffreys:

Lo siguiente fue puesto como ejemplo en el Examen Preliminar de Matemáticas en Cambridge en 1945 por Dame Mary Cartwright, pero no ha rastreado su origen.

. . y a continuación una breve y sencilla prueba de la irracionalidad de $\pi.$

En 1947 se publicó una prueba de la misma proposición de Ivan Niven en el Boletín de la Sociedad Matemática Americana .

Véase el artículo de Wikipedia sobre estos: Cartwright , Niven

Niven considera la función $f(x) = \dfrac{x^n(a-bx)^n}{n!}$ para $0\le x\le \pi = \dfrac a b$ y la integral $\displaystyle\int_0^\pi f(x) \sin x\, dx.$ Tenga en cuenta que $\sin x$ es $0$ si $x$ está en cualquiera de los extremos.

Cartwright trabaja con la integral $\displaystyle \int_{-1}^1 (1-x^2)^n \cos(\alpha x)\,dx.$ Tenga en cuenta que $(1-x^2)^n$ se transforma en $x^n(a-bx)^n$ por una transformación afín del dominio, tomando $[-1,1]$ a $[0,\pi].$ Y la función trigonométrica $\cos(\alpha x)$ es $0$ en ambos extremos si $\alpha=1.$ Más adelante en el argumento Cartwright divide un múltiplo de esta función de $\alpha$ por $n!,$ paralelamente a lo que hizo Niven.

¿Son estas pruebas esencialmente las mismas?

Tal vez publique mi propia respuesta si resuelvo esto antes de que se publiquen mejores respuestas.

Answer 1

Es difícil decirlo sin saber qué diferencias deben considerarse esenciales.

Su enfoque no es fundamentalmente diferente. Ambos utilizan la misma mecánica de limitar algo que se supone que es un entero positivo por algo que desaparece. La cantidad que desaparece es exponencial sobre factorial en ambos casos, también.

Ambos llegan a la desigualdad clave mediante una fórmula de integración por partes. Dado que las funciones que se integran son las mismas hasta una transformación, la principal diferencia parece ser si se quiere obtener una fórmula a partir de las integrales de Niven o de Cartwright. Ese cálculo no difiere mucho porque el papel que juega la relación de recurrencia para $J_n$ en la prueba de Cartwright está encapsulada en la definición de Niven de $F$ .

De lo anterior, diría que la diferencia entre las pruebas es sobre todo de presentación.

Answer 2

A continuación se presenta un argumento para una posible respuesta a esta pregunta, seguido de "Sin embargo "

Niven ha $\pi = a/b$ y $$ f(x) = \frac{x^n(a-bx)^n}{n!} = \frac{x^n(\pi-x)^n}{n!} b^n \quad \text{for } 0\le x\le \pi. $$ Demuestra que $$ 0 < \int_0^\pi f(x)\sin x \, dx \in \mathbb Z \tag 1 $$ pero que $$ 0 < f(x) \sin x < \frac{\pi^n a^n}{n!}, $$ para que $(1) \to 0$ como $n\to\infty,$ obteniendo así una contradicción.

Cartwright como informó Jeffreys tiene $\frac 1 2 \pi = \dfrac b a$ y $$ I_n = \int_{-1}^1 (1-x^2)^n \cos\left( \tfrac \pi 2 x\right) \, dx, $$ que es la misma integral que en $(1)$ modulo un mapeo afín creciente que toma $[0,\pi]$ a $[-1,1],$ excepto que no ha Sin embargo, dividido por $n!.$

Luego muestra que $$ 0 < \frac{b^{2n+1}}{n!} I_n \in\mathbb Z, \tag 2 $$ y claramente $(2)\to0$ como $n\to\infty.$

Lo anterior hace que parezca que ambos hicieron lo mismo, salvo por detalles triviales.

Sin embargo, el método para demostrar que la cosa denunciada es un miembro de $\mathbb Z$ es de hecho un miembro de $\mathbb Z$ puede o no ser diferente en algún aspecto que sea de interés. Así que si actualizo esta respuesta preliminar más tarde, puede que lo aborde.