¿Una función continua de Lipschitz tiene derivados unilaterales por todas partes?

Question

Que $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ satisfacer la condición de Lipschitz: existe $K\geq 0$ tales que para todos los $x,y\in\mathbb R$, tenemos $|f(x)-f(y)|\leq K\cdot |x-y|$. ¿Es cierto que $f$ tiene derivados unilaterales por todas partes? ¿Es decir, que existen los límites $$\lim{h\nearrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\quad\text{and}\quad\lim{h\searrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ $ para cada $x$?

Sé que ambas existan a.e. puesto que la condición de Lipschitz implica que $f$ es diferenciable a.e., pero me gustaría saber si es verdadera a.e., no sólo por todas partes. Después de trabajar con esto durante algún tiempo, tuve la sensación de que podría ser.

Answer 1

No. Contraejemplo:

Sea el grafo que conecta linealmente el puntos $g : [1,2] \to \mathbb R$ $ $$(1, 1), (1.5, -1.5), (2, 2).$

Definir $f [0,1] \to \mathbb R$ ser

$$f(x) = \begin{cases} 0 & \text{if } x=0,\ \frac{1}{2^{n+1}}\ g(2^{n+1} x) &\text{if }x\in [2^{-(n+1)}, 2^{-n}), n =0, 1, 2\cdots.\ \end{casos} $$

$f$ Es Lipschitz puesto que ha delimitado derivados (excepto en algunos puntos contables donde no existe los derivados). Sin embargo,

$$\lim_{h\to 0^+} \frac{f(h) - f(0)}{h}$$

no existe desde

$$ \frac{f(2^{-(n+1)}) - f(0)}{2^{-(n+1)}} =1, \ \ \ \frac{f(2^{-(n+1)} 1.5) - f(0)}{2^{-(n+1)} 1.5} = -1$$

Answer 2

No % $ $$ f(x)=\begin{cases}x\sin\frac1x&0