¿Por qué es este polinomio es un monomio?

Question

Deje $p$ ser un polinomio de grado $n$ tal que $|p(z)| = 1$ todos los $|z| = 1$.

¿Por qué es que $p(z) = az^n$ algunos $|a| = 1$?

Me he dado cuenta de que fácilmente podríamos probar esto por inducción si se podía demostrar que 0 era una raíz de $p$. Mi conjetura es que del teorema de Rouch y/o el Módulo de Máxima principio debe ser utilizado.

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Mis antecedentes del problema: Esta pregunta es la última pregunta en la parte de mi examen final que no he sido capaz de averiguar todavía.

Nos permite colaborar con otras personas en la clase (y tengo) así como el uso de cualquier libro y de internet (incluyendo este sitio web). Así que, básicamente, es una tarea que vale más puntos de lo normal. Sin embargo, en caso de que esto le ayuda a decidir cuánta información para dar, la final es mañana (pero ya me voy a una matemática de la conferencia, puede resultar en la tarde).

Answer 1

Si $p$ no tiene ceros en el disco unidad, a continuación, $p$ debe ser constante - considerar la posibilidad de $\frac{1}{p}$.

Así que para $n > 0$, $p$ debe tener ceros en el disco unidad. Deje que ellos se $0 = \zeta_0, \zeta_1,\dotsc,\zeta_k$, con multiplicidades $\mu_0,\dotsc,\mu_k$, donde nos permitir $\mu_0 = 0$, pero la demanda $\mu_\kappa > 0$$1 \leqslant \kappa \leqslant k$. Considere la posibilidad de

$$f(z) = z^{\mu_0} \prod_{\kappa = 1}^k \left(\frac{z-\zeta_\kappa}{1-\overline{\zeta_\kappa}\cdot z}\right)^{\mu_\kappa}.$$

$f$ es holomorphic en un barrio de la cerrada de la unidad de disco, y $f$ tiene el mismo ceros (incluyendo la multiplicidad en la unidad de disco como $p$. Por lo tanto

$$g(z) = \frac{f(z)}{p(z)}$$

es holomorphic en un barrio de la cerrada de la unidad de disco y no tiene ceros en el disco unidad. Para $\lvert z\rvert = 1$, se puede decir algo acerca de la $g(z)$ que implica que $g$ es constante. Y eso implica que $k = 0$$\mu_0 = n$.

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Como alternativa, considere la totalidad de la función de meromorphic

$$h(z) = \frac{1}{\overline{p(1/\overline{z})}}.$$

El uso de las condiciones en las $p$ a deducir $p = h$, y de que el resultado.

Answer 2

.. .algunos comentarios que no necesariamente van en cualquier lugar (porque tengo que ir).

• definir $p(e^{i\theta})=e^{iP(\theta)}$ $P:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, $2\pi$-periódicas y de curso $p((e^{i\theta})^n=p(e^{in\theta}))=e^{iP(n(\theta))}$
• que $p(e^{i\theta})=\sum_{\ell=0}^n\alpha_\ell e^{i\ell\theta}$ y esto da $\left|\sum_{\ell=0}^n\alpha_\ell\right|=1$
• $\displaystyle \frac{d^np}{dz^n}=n!\alpha_n$ and $\displaystyle \frac{d^np}{d\theta^n}=\sum_{\ell=0}^n\alpha_\ell (i\ell)^ne^{i\ell \theta}$
• ¿podríamos Mostrar $p(\zeta_n^\ell)=\alpha_n$ $\zeta_n$ raíz primitiva $n$-th de la unidad y $k=1,2,\dots,n$ y $p(0)=0$ $\sum_{\ell=0}^n\zeta_n^\ell=0$? Creo que podemos demostrar todos $\pi\in S_{n-1}$ %#% $ #%

Answer 3

Este $$\sum_{n=0}^{\infty}|a_nz^n|^2=\frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^{\pi}|p(ze^{it})|^2dt$ $ mata si suponga que el coeficiente principal de $p$ tiene módulo $1$.

Estoy trabajando en el caso general.