Tengo una pregunta y espero que algunos de ustedes me puede ayudar :)
Considere la posibilidad de una firma de medida $\nu$ a $(\Omega, \bf{A})$ y vamos a ser $P_i \in \bf{A}$ positivo conjuntos, de tal manera que $ \forall B \subset P_i: \nu(B) \geq0 $. Luego hemos estado en que $\bigcup_{i \in I} P_i$ es también un conjunto positivo.
Si $I$ es contable ( $|I| \leq |\mathbb{N}|$), esto parece ser verdad. Para mostrar esto he considerado un arbitrario $M \in \bigcup_{i \in I} P_i $. Sé que existe $M_i := M \cap P_i \subset P_i$. Así, obtenemos $\nu(M) = \nu \left( \bigcup_{i \in I}M_i \right) = \sum_{i \in I} \nu(M_i) \geq 0$.
La última $=$ sigue debido a sigma-aditividad de $\nu$ e las $\geq$ sigue debido a $M_i \subset P_i$ e $P_i$ es positivo.
Ahora me pregunto, ¿qué sucede si $I$ es incontable ( $|I| > |\mathbb{N}|$). Creo que debe haber un contraejemplo, ya que el sigma-aditividad no tiene más, pero no puedo encontrar uno.
¿Alguien tiene un contraejemplo para mí, o es mi suposición equivocada, y uno puede prueba, que el enunciado es cierto para overcountable yo.
Muchas gracias!
