Si $E$ es Lebesgue medible y $m(E)>0$, ¿existe un incontable $C\subset E$ con $m(C)=0$?
Esto parece intuitivamente claro, pero no puedo demostrarlo. Desde $E$ tiene medida positiva que contiene un nonmeasurable conjunto $V$, y cada subconjunto medible de $V$ es nulo, pero yo no podía mostrar $V$ contiene innumerables subconjuntos medibles. También probé con el hecho de que para $\alpha\in(0,1)$ hay un intervalo de $I$ s.t $m(E\cap I)\ge \alpha m(I)$, intentar construir un conjunto de Cantor en el interior de $I$ con un incontable intersección con $E$ pero no tuve éxito. Cualquier sugerencias? Es esto cierto?
Respuesta
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Sí.
Por la regularidad, si $m(E)>0$ , a continuación, hay algunos cerró $C\subseteq E$ con $m(C)>0$. Así WLOG asumen $E$ es cerrado (y tiene una medida de $1$).
Una variante del conjunto de Cantor de la construcción ahora nos permite "fino" $E$ a un cerrado innumerables $D\subseteq E$ con medida cero. E. g. en nuestro primer paso que arreglar $a<b$ tal que $m(E_{<a})=m(E_{>b})={1\over 3}$, y reducir a $E\setminus (a,b)$.
(¿Cómo funciona el closedness de $E$ importa? Bien, tenemos que argumentar que el $D$ construimos es, de hecho, como se desee. Trivialmente esta $D$ es nulo, ya que hemos reducido sus medir adecuadamente en cada etapa; a sabiendas de que $D$ está cerrado nos dice que todo lo que debe ser en $D$, es.)
