Buscar elementos tales que ningunos añadir a un cuadrado perfecto

Question

Bob nos pide encontrar que un infinite set <span class="math-container">$S$</span> de enteros positivos tales que la suma de un número limitado de elementos distintos de S no es un cuadrado perfecto.

¿Se puede satisfacer la petición de Bob?

Encuentro algunos conjuntos finitos, y la secuencia A133662 (OEIS) parece que funciona pero no sé si esa secuencia es infinita o no.

¿Tal vez si elegimos un montón de elementos con una característica común?

Answer 1

Escoge un prime $p$ y considerar la posibilidad de $S_p=\{p,p^3,p^5,\cdots\}$.

Deje $v_p(n)$ denotar la máxima potencia de $p$ que se divide $n$, lo $v_3(18)=2$ por ejemplo.

Cualquier suma finita de elementos en $S_p$ tiene la forma $m=p^{2a_1+1}+\cdots p^{2a_k+1}$ con $a_1<a_2<\cdots <a_k$. Pero entonces tenemos $$v_p\left(m\right)=v_p\left(p^{2a_1+1}+\cdots p^{2a_k+1}\right)=2a_1+1$$ which is odd, so $m$ no puede ser un cuadrado perfecto.

Answer 2

Elija cualquier secuencia $a_1,a_2,\ldots$ que crece lo suficientemente rápido para que $a_1+a_2+\ldots a_{n-1}$ es menor que la distancia de a$a_n$ hasta el siguiente cuadrado perfecto (y $a_n$ debe nunca ser un cuadrado perfecto, por supuesto). De esa manera, cualquier suma finita de términos tendrán un mayor plazo, y el resto de los términos de la suma no será suficiente para alcanzar el siguiente cuadrado a partir de ahí.

Así, por ejemplo, vamos a $a_1=2$. Entonces podemos permitir $a_2=5$, debido a que el siguiente cuadrado de $5$ es $9$, e $2+5<9$.

A partir de aquí, $2+5=7$, por lo que el próximo candidato a $a_3$ es $17$, ya que el siguiente cuadrado de $17$ es $25$, y usted no puede llegar a $25$ de $17$ mediante la adición de $2$ y / o $5$.

Ahora tenemos $2+5+17=24$, por lo que el siguiente candidato es $170$, ya que el siguiente cuadrado a partir de ahí es $196$, e $2,5,17$ no son lo suficientemente grandes como para llegar a esa altura.

Esto puede continuar indefinidamente. Las brechas entre consecutivos plazas crecer, por lo que siempre se puede encontrar un espacio lo suficientemente grande para poner el siguiente elemento de la secuencia.