Cómo simplificar el resultado que obtengo para la siguiente integral: $\int_0^\infty \frac{\cos(a x)}{x^4+b^4}\,dx$

Question

He estado intentando calcular la siguiente integral utilizando el Teorema del Residuo pero termino con una respuesta que parece contener una parte imaginaria mientras que la integral debería ser puramente real: $$I_1=\int_0^\infty \frac{\cos(a x)}{x^4+b^4}\,dx$$ Para calcular esta integral, considero la integral de contorno $$I_2=\int_C \frac{e^{iaz}}{z^4+b^4}\,dz$$ Dónde $C$ es el semicírculo de radio $R$ en el medio plano superior parametrizado en sentido contrario a las agujas del reloj. Como $R\to\infty$ la integral semicircular desaparece, y un argumento de simetría muestra que $I_1=I_2/2$ .

Ahora, podemos utilizar el Teorema del Residuo para calcular $I_2$ que tiene polos en $z=be^{i\pi/4}$ y $z=be^{3i\pi/4}$ . Tras algunos cálculos, obtengo \begin{align}I_1&=\frac{\pi i}{4b^3} \left( e^{-3\pi ab /4}e^{-i\pi/4}+e^{-\pi ab /4}e^{-3i\pi/4} \right)\\ &=\frac{\pi i}{4b^3} \left( e^{-3\pi ab /4}e^{-i\pi/4}-ie^{-\pi ab /4}e^{-i\pi/4} \right) \\ &=\frac{\pi i}{4b^3} e^{-i\pi/4}\left( e^{-3\pi ab /4}-ie^{-\pi ab /4} \right) \\ &=\frac{\pi}{4b^3} e^{i\pi/4}\left( e^{-3\pi ab /4}-ie^{-\pi ab /4} \right) \\ \end{align} Ahora, parece que a menos que $a=0$ ( y $b=0$ Pero en ese punto la integral es indefinida), siempre habrá una parte imaginaria distinta de cero, lo que no debería ocurrir porque, como dije antes, el integrando es puramente real y se está integrando en un intervalo real. Noté que había una simetría interesante en las exponenciales, pero no he encontrado la manera de usarla.

Pensé que era posible que se produjera un error relacionado con la fase, pero no estaría seguro de dónde.

¿Alguna idea?

Answer 1

Muy bien, he encontrado una respuesta totalmente real que coincide con el comentario de Winther. Al principio cometí un error al calcular mis residuos. Aquí vamos:

\begin{align} I_2&= 2\pi i \sum \text{Res}_{\text{Im(}z)\ge 0 } \,f(z) \\ &= \frac{2\pi i}{4b^3}\left(\frac{e^{iabe^{3\pi i/4}}}{e^{i\pi /4}} + \frac{e^{iabe^{\pi i/4}}}{e^{3i\pi /4}} \right) \\ &= \frac{2\pi i}{4b^3}\left(e^{iab\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-\frac{i\pi}{4}} + e^{iab\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-\frac{3i\pi}{4}} \right) \\ &=\frac{2\pi i}{4b^3}e^{-\frac{ab}{\sqrt{2}}} \left( e^{-i\left[\frac{ab}{\sqrt{2}} +\frac{\pi}{4}\right]}+ e^{i\left[\frac{ab}{\sqrt{2}} -\frac{3\pi}{4}\right]} \right) \\ &=\frac{2\pi i}{4b^3}e^{-\frac{ab}{\sqrt{2}}} \left( e^{-i\left[\frac{ab}{\sqrt{2}} +\frac{\pi}{4}\right]}- e^{i\left[\frac{ab}{\sqrt{2}} +\frac{\pi}{4}\right]} \right) \\ &=\frac{2\pi i}{4b^3}e^{-\frac{ab}{\sqrt{2}}} \left( -2 i\sin \left(\frac{ab}{\sqrt{2}} +\frac{\pi}{4}\right) \right) \\ &= \frac{\pi}{b^3} e^{-\frac{ab}{\sqrt{2}}}\sin \left(\frac{ab}{\sqrt{2}} +\frac{\pi}{4}\right) \end{align} utilizando $I_1=I_2/2$ y exigiendo que $I(a)=I(-a)$ y $I(b)=I(-b)$ finalmente obtenemos

$$I_1=\frac{\pi}{2b^3} e^{-\frac{|ab|}{\sqrt{2}}}\sin \left(\frac{|ab|}{\sqrt{2}} +\frac{\pi}{4}\right)$$

Answer 2

En realidad no es una respuesta, sólo hago las cosas lo más compactas posible

En primer lugar, tenga en cuenta que $$e^{i\pi/4}=\frac{1+i}{\sqrt2}$$ Por lo tanto, $$I_1=\frac{\pi(1+i)}{4b^3\sqrt2}\bigg(\frac1{e^{3ab\pi/4}}-\frac{i}{e^{ab\pi/4}}\bigg)$$ Multiplicando el lado derecho por $\frac{\exp(ab\pi/4)}{\exp(ab\pi/4)}$ , $$I_1=\frac{\pi(1+i)}{4b^3e^{ab\pi/4}\sqrt2}\bigg(e^{\frac{ab\pi}4(1-3)}-ie^{\frac{ab\pi}4(1-1)}\bigg)$$ $$I_1=\frac{\pi(1+i)}{b^3e^{ab\pi/4}2^{5/2}}(e^{-ab\pi/2}-i)$$ Ahora dejemos que $$p=\frac\pi{b^3e^{ab\pi/4}2^{5/2}}\\ q=e^{-ab\pi/2}$$ Así que $$I_1=p(1+i)(q-i)$$ Así, $$I_1=p(1+q)+ip(1-q)$$ Así que ahora tienes una parte real y otra imaginaria bien diferenciadas. Supongo que tienes que hacer más suposiciones sobre las restricciones de $a$ y $b$ si quieres $\text{Im}I_1=0$ . O eso o te has equivocado.