Radio de convergencia de $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n+2}{2n^2+2} x^n$

Question

Quiero determinar la convergencia de la siguiente serie en dependencia de $x$:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n+2}{2n^2+2} x^n=\frac{3}{4}x+\frac{2}{5}x^2+\frac{1}{4}x^3+\frac{3}{17}x^4+ ... $

¿Cómo puedo solucionar esto?

EDITAR: @Winther, dijo, debería tratar de la relación de la prueba:

$q := \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right| $

Así, obtenemos

$q = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{n+3}{2(n+1)^2+2}}{\frac{n+2}{2n^2+2}}\right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{n+3}{2(n+1)^2+2}\frac{2n^2+2}{n+2} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{2n^3+2n+6n^2+6}{2(n+1)^2n+4(n+1)^2+2n+4}\right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{n^3+3n^2+n+3}{n^3+4n^2+6n+4}\right| $

Con la punta de @Alex Vong dividir por $n^3$ la proporción de la prueba se convierte en:

$ q = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{1+3/n+1/n^2+3/n^3}{1+4/n+6/n^2+4/n^3}\right|= 1$

Así que ahora no hay una clara declaración de si la serie es convergente ($q<1$ convergentes, $q>1 $ divergentes).

Debo intentar otra prueba (e. g. la raíz de la prueba)?

EDIT 2: se ha Corregido el primero de los coeficientes.

Answer 1

Los poderes de $n$ no afectan el radio de convergencia, sólo la convergencia en los extremos (desde $(n^k)^{1/n} \a 1$).

Por lo tanto $f(x) =\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n+2}{2n^2+2} x^n $ tiene el mismo radio de convergencia $\sum\limits_{n=1}^{\infty} x^n$ que es $-1 < x < -1$.

En $x=1$, la serie es $f(1) =\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n+2}{2n^2+2} $ que diverge como el serie armónica.

En $x=-1$, la serie es $f(-1) =\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n+2}{2n^2+2} (-1)^n $ que converge porque es una corriente alterna de la serie con la disminución de los términos.

Answer 2

Si la prueba de razón de las obras, no hay necesidad de consultar con otras pruebas; en el caso de querer calcular, para $x\ne0$, $$ \lim_{n\to\infty} \left|\,\frac{\dfrac{(n+1)+2}{2(n+1)^2+2}x^{n+1}}{\dfrac{n+2}{2n^2+2}x^n}\,\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{n+3}{n+2}\frac{2(n+1)^2+2}{2n^2+2}|x|=|x| $$ Este límite es $<1$ si y sólo si $|x|<1$.

Por lo tanto el radio de convergencia es $1$.

Hay casos en los que el límite para la prueba de razón de no existir; otras pruebas deben ser utilizados. El "universal" de la prueba es de Hadamard: $$ \frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} $$ pero esto puede ser difícil de calcular.