Comprobación de que un $3$ -El diagrama D es conmutativo

Question

Para demostrar ciertos resultados necesito utilizar diagramas conmutativos, algunos de ellos bastante complicados. Mi pregunta es:

¿Necesitamos comprobar cada cuadrado pequeño todo el tiempo para asegurarnos de que todos son conmutativos?

Como ejemplo, si tenemos el siguiente diagrama. Si en mi prueba escribí "Considere el siguiente diagrama conmutativo":

Antes de discutir nada más, tengo que demostrar que es efectivamente conmutativa. Hay $11$ pequeños cuadrados para verificar. Cuando leo artículos/libros, rara vez veo que el autor verifique que cada cuadrado pequeño es conmutativo.

¿Hay alguna alternativa, aparte de comprobar todos los cuadrados pequeños, si quiero afirmar que un diagrama complicado es conmutativo?

Answer 1

La forma más común de librarse de comprobar todas las casillas pequeñas es tener algunas flechas mónicas o épicas en el diagrama. Por ejemplo, supongamos que conociéramos el cuadrado de $B_1$ à $C_2$ era conmutativo, que $B_2\to C_2$ era mónico, y que el rectángulo grande de $A_1$ à $C_2$ fuera conmutativa (eso es un poco fuerte aquí puesto que ya es épica, pero esta discusión se aplica de forma más general). Entonces cancelando las flechas mónicas podríamos deducir la conmutatividad del cuadrado de $A_1$ à $B_2$ . Por supuesto, puedes dualizar, y puedes usar esto tanto en cubos como en rectángulos: si conocieras las caras superior, inferior, frontal, posterior y derecha del $A,B$ cubo fueran conmutativos entonces $A_2'\to B_2'$ ser mónico implica que la cara izquierda es conmutativa.

Pero, en general, ni siquiera comprobar todas las casillas menos una es suficiente, como puede verse en su diagrama: considere la posibilidad de establecer la casilla $A_i'$ et $B_i'$ y los cuatro $C$ s a cero (entonces todo menos el cuadrado superior izquierdo conmuta automáticamente, pero no sabemos nada de esto último).

Answer 2

Si estás escribiendo la prueba, al menos deberías explicar cómo se comprueba cada una de ellas (tal vez dar un solo ejemplo). Si todas las restantes son similares, entonces puedes decir simplemente que son similares.

Lo realmente importante es que verifiques personalmente cada hecho. Si no lo has hecho personalmente, ¿cómo puedes afirmar que sabes que es conmutativo? Si puedes demostrarte a ti mismo que es cierto sin comprobar cada uno de ellos, entonces deberías ser capaz de escribir la prueba sin comprobar cada uno de ellos.

Answer 3

Algunas citas relevantes, en las que puede encontrar motivo de consuelo o desesperación:

Ahora bien, estos ejemplos [de diagramas conmutativos] son sólo tres de muchas más compatibilidades similares que vendrán inmediatamente a la mente del lector. Podría hacer una gran lista y, en principio, podría demostrar cada una de ellas. Sin embargo, seguro que más adelante necesitaría alguna más, y ya la lista de las que se me ocurren de antemano es demasiado engorrosa para escribirla. Y como la tarea de inventar estos diagramas y comprobar su conmutatividad es casi mecánica, el lector no querría leerlos, ni yo escribirlos. Sería reconfortante saber que esa lista existe, o disponer de un metateorema que dijera que cualquier diagrama de este tipo que se nos ocurra es conmutativo. Sin embargo, ambas posibilidades parecen demasiado complejas para tratarlas en estas notas.

Por desgracia, tendré que utilizar muchas de estas compatibilidades de forma esencial en lo que viene a continuación. Quizás para cada teorema de la secuela se podría hacer una lista de las compatibilidades que se necesitan exactamente, y verificarlas, pero incluso eso es demasiado torpe en este momento. Así que debo pedir la indulgencia del lector. Creo en la veracidad de los teoremas expuestos, y espero convencerle también de su veracidad. Pero no he verificado todos los diagramas conmutativos necesarios para una demostración rigurosa, y supongo que ningún lector tendrá tampoco la paciencia de hacerlo.

--Robin Hartshorne, Residuos y dualidad

Las notas existentes de SGA5 eran a la vez incompletas y poco convincentes; recuerdo una charla de Illusie sobre la fórmula de la traza en la que confesaba no haber podido demostrar la compatibilidad de todos los diagramas necesarios. No basta con afirmar que los diagramas que uno escribe "deberían" conmutar... ¡especialmente cuando cosas tan importantes (para mí...) como las conjeturas de Weil o Ramanujan dependen de ellas!

---J.P. Serre, carta a Alexander Grothendieck

Answer 4

Existe un resultado relevante llamado el lema del cubo (véase la p. 43 de B. Mitchell, Category Theory, Academic Press, Nueva York, 1965), que dice que cuando todas las caras de un cubo tridimensional conmutan, excepto posiblemente la cara inferior, y si la flecha descendente hacia el objeto origen de la cara inferior es un epimorfismo, entonces la cara inferior también debe conmutar. Si todas las flechas son morfismos invertibles, entonces el lema del cubo dice que si 5 de las 6 caras cuadradas conmutan, entonces la 6ª también debe conmutar. Bajo la misma suposición de morfismos invertibles (por ejemplo, que el diagrama está en una categoría grupoide), el resultado en Mitchell se puede extender a hipercubos de todas las dimensiones: si todas las caras cuadradas en una base particular (recursivamente dada) del hipercubo son conmutativas, entonces cada cara del hipercubo (no sólo las caras cuadradas) debe ser conmutativa. Para la $n$ -cubo, $n \geq 20$ sólo unos $4/n$ de las caras cuadradas están en la base. Véase $\,$ Construcción de ciclos y ciclos geodésicos con aplicación al hipercubo, ARS MATHEMATICA CONTEMPORANEA 9 (2015) 27-43, http://amc-journal.eu/index.php/amc/article/view/450/653 . Allí se da un ejemplo (p. 41) de un diagrama formado como la suma mod-2 de dos cuadrados conmutativos que a su vez no es conmutativo.

Answer 5

Normalmente, el diagrama conmutativo es una colección completa de condiciones. Puedes suponer que cada cuadrado es conmutativo y utilizarlo para sacar las conclusiones.

Pero si el diagrama es un teorema que debes demostrar, entonces tendrás que demostrar la conmutatividad de cada cuadrado. Pero nunca he visto esa disposición en los ejercicios. Sin embargo podría ocurrir si todos los homomorfismos estuvieran dados.

Pero en la mayoría de los casos el diagrama es una condición a partir de la cual se deben sacar algunas conclusiones.