Operador lineal acotado y autoadjunto y su inverso

Question

Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert y supongamos que $A:H \rightarrow H$ es un operador lineal acotado y autoadjunto tal que existe una constante $c>0$ con $c\|x\| \leq \|Ax\|$ para todos $x\in H$ . Demostrar que $A^{-1}:H \rightarrow H$ existe y está acotado.

Una pista: Para la ontología de $A$ es suficiente para mostrar ese rango de $A$ está cerrado. ¿Por qué?

Por favor, ayúdame, si tienes alguna buena respuesta en esta pregunta.

Answer 1

Veamos el paso a paso. Decimos que $A$ está acotado por debajo si $$ \|Ax\|\geq c\|x\|, \quad\forall x\in H,$$ se mantiene para alguna constante $c>0$ . Inmediatamente vemos que $Ax=0$ implica $x=0$ es decir $A$ es inyectiva. Además, podemos deducir que $\operatorname{ran} A$ está cerrado. Para ver esto, dejemos que $(Ax_n)_{n\ge 1}$ sea una sucesión de Cauchy. Entonces, por la acotación desde abajo, se cumple que $(x_n)_{n\ge 1}$ es Cauchy. Por lo tanto, $\lim_n Ax_n = A(\lim_n x_n) \in \operatorname{ran} A$ . De hecho, $A$ está acotada por debajo si y sólo si es inyectiva y tiene un rango cerrado. Ahora bien, como $A$ es autoadjunto, sabemos que $$ \operatorname{ran} A = \overline{\operatorname{ran} }A =\ker A^\perp =H. $$ Esto establece $A$ es biyectiva. Sea $B$ denotan la inversa de $A$ . Entonces, por la acotación desde abajo, tenemos $$ \|ABx\| = \|x\|\geq c\|Bx\|. $$ Por lo tanto, $B$ está acotado como se desea.

Answer 2

Su operador $A$ es claramente inyectiva y de rango cerrado. Para la segunda propiedad, basta con observar que, si $Ax_n \to y$ entonces $\|Ax_m - Ax_n\| \geq c \|x_m - x_n\|$ Por lo tanto $(x_n)$ es una secuencia de Cauchy. Por completitud, $x_n \to x$ y $Ax = y$ .

Desde $A$ es autoadjunto, entonces también $A^*$ es inyectiva y de rango cerrado. Pero entonces $A$ es suryente (para una prueba, véase aquí ).

Esto demuestra que $A$ es una biyección. Por último, su operador inverso es continuo por el teorema del mapa abierto.

Answer 3

Para demostrar que $\overline{\mathcal{R}(A)}=\mathcal{H}$ : $$ \mathcal{R}(A)^{\perp}=\mathcal{N}(A^*)=\mathcal{N}(A)=\{0\} \\ \implies \overline{\mathcal{R}(A)}=\mathcal{R}(A)^{\perp\perp}=\mathcal{H} $$

Entonces, una vez que demuestre que el rango de $A$ es cerrado, se deduce que $\mathcal{R}(A)=\mathcal{H}$ .

Para demostrar que el rango es cerrado, supongamos $\{ Ax_n \}$ converge a $y$ . Entonces $\{ Ax_n\}$ es una secuencia de Cauchy, lo que obliga a $\{ x_n \}$ sea una secuencia de Cauchy porque $\|Ax_n-Ax_m\| \ge c\|x_n-x_m\|$ . Así que $\{ x_n \}$ converge a algún $x$ , lo que da $Ax=y$ . Así que el rango de $A$ está cerrado.