Cómo resolver ecuaciones de este tipo

Question

Mi profesor de matemáticas nos dio algunas preguntas para practicar para el examen de mitad de período de mañana, y me di cuenta de que algunos de ellos tienen el mismo cable patrón que no sé si tiene un nombre:

Q1. Si: $x - \frac{1}{x} = 3$ entonces, ¿qué es $x^2 + \frac{1}{x^2}$ igual?

La respuesta para esta pregunta es 11, pero no sé cómo, yo pensaba que debería ser de 9, pero mi respuesta es incorrecta.

Q2. Si: $\frac{x}{x + y} = 5$ entonces, ¿qué es $\frac{y}{x + y}$ igual?

La respuesta para esto es -5, también no sé cómo.

Q3. Si: $x^4 + y^4 = 6 x^2 y^2 \land x\neq y$ entonces, ¿qué es $\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}$ igual?

Supongo que la respuesta para esto $\sqrt{2}$ pero no estoy seguro.

Cualquier cuerpo puede explicar cómo resolver estas preguntas, y las preguntas de el mismo patrón?

Answer 1

Para el primero:

PS

Para el segundo, observa que:

PS

Para el tercero, una pequeña pista:

PS

Como alternativa, observe que también es:

PS

Answer 2

Insinuación:
1: $x - \dfrac{1}{x} = 3 \implies x^2 + \dfrac{1}{x^2} - 2 = 9$
Ahora usa, $\big(x + \dfrac{1}{x}\big)^2 = x^2 + \dfrac{1}{x^2} + 2$

2: $\dfrac{x}{x+y} = \dfrac{1}{1 + \dfrac{y}{x}}$

3: $x^4 + y^4 = 6 * x^2 * y^2 \implies \dfrac{x^2}{y^2} + \dfrac{y^2}{x^2} = 6$ , resuelva para y / xo x / y use eso para obtener el valor de la expresión final

Answer 3

1

Tenga en cuenta que

<span class="math-container"> $$x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x -\frac{1}{x}\right)^2 + 2 = 3^2 + 2 = 11$$ </span>

2

Observe que la suma de dos fracciones de da <span class="math-container">$1$</span> por lo tanto es algo trivial para obtener el segundo valor.

3

Puede transformar la ecuación y resolver <span class="math-container">$\frac{y}{x}$</span> por ejemplo y todo lo que necesita.

Answer 4

Consejos.

$1) x-\frac1x=3\implies x^2+\frac1{x^2}-2=9\\2)\frac y{x+y}+\frac x{x+y}=1\\3)x^4+y^4=6x^2y^2\\\implies x^4+y^4+2x^2y^2=(x^2+y^2)^2=8x^2y^2\\\implies x^4+y^4-2x^2y^2=(x^2-y^2)^2=4x^2y^2$

Divide los dos y saca la raíz cuadrada.