Cada energía positiva de $5$ aparece en los últimos dígitos de mayor potencia de $5$

Question

Problema. Demostrar que para todo entero positivo $n$, no es un número entero $N > n$ , que el número $5^n$ aparece como el último par de dígitos $5^N$. Por ejemplo, si $n = 3$, tenemos $5^3 = 125$ e $5^5 = 3125$, lo $N = 5$ iba a satisfacer.

Este es un problema de la hoja de cálculo de la clase de Putnam Seminario en CMU. Por favor, dar sugerencias hacia la dirección correcta y no la totalidad de las soluciones. Gracias!!

Answer 1

Fix $n$. Los casos de $n \le 3$ puede ser manejado directamente. Ahora suponemos $n > 3$.

Deje $m = \lceil n \log_{10} 5 \rceil$ ser el entero más pequeño tal que $10^m > 5^n$. Para $n > 3$, tenemos $m < n$.

Quieres encontrar a $N$ tal que $5^N = k 10^m + 5^n$ para algunos entero $k$. Dividir ambos lados por $5^n$ rendimientos $$5^{N-n} - 1 = k 2^m/ 5^{n-m}.$$

Por lo tanto, si usted demuestra que usted puede encontrar un gran número entero $q$ tal que $5^q - 1$ es divisible por $2^m$ entonces usted puede optar $N$ e $k$ adecuadamente a la conclusión de la prueba.

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Caso Base: Para $m=2$ tenemos $5^1 - 1$ divisible por $2^m$. Inductivo paso: si $5^q-1$ es divisible por $2^m$, a continuación, $5^{2q}-1 = (5^q-1)(5^q+1)$ es divisible por $2^{m+1}$.

Answer 2

Vamos a probar que existe un $N$ tal que $5^n$ e $5^N$ tienen el mismo apellido $n$ dígitos

Así que lo que tenemos que hacer es encontrar a $5^N\equiv 5^n\pmod{10^n}$

Esto puede lograrse mediante el establecimiento $N=n+\phi (2^n)$

Desde $5^N\equiv 5^n\pmod{5^n}$ e $5^N\equiv 5^n\pmod{2^n}$