Esto viene desde el siguiente teorema:
Teorema: Supongamos $X$ e $Y$ ruta conectado y cada uno tiene al menos dos puntos. Dado cualquier punto de $(x_0, y_0) \in X \times Y$, el espacio de $X \times Y -\{(x_0,y_0)\}$ es todavía ruta de acceso conectado.
En su caso, $X \times Y$ debe ser la ruta de acceso conectado desde $\mathbb{R}$ es. Por lo tanto, cada una de las $X$ e $Y$ ruta conectado, por lo que el resultado anterior es aplicable. Pero al quitar un punto que nos metemos en problemas, ya que $\mathbb{R}-pt$ no es la ruta más larga conectada, sino $X \times Y -\{(x_0,y_0)\}$ es. Así que todo lo que tienes que hacer es creer en el teorema.
Boceto De La Prueba. Deje $(a,b)$ e $(c,d)$ ser cualquiera de los dos puntos en $Z=X \times Y -\{(x_0,y_0)\}$. Debemos demostrar que existe un camino entre estos dos puntos, el camino de la vida en $X \times Y -\{(x_0,y_0)\}$ (por lo tanto, evitando $(x_0,y_0)$). El argumento viene en varios casos.
En primer lugar, podríamos tener $a=c\neq x_0$. Utilice el hecho de que $\{a\} \times Y\cong Y$ es la ruta de acceso conectado y construir el camino en esa división. Que da claramente un camino de $Z$. El mismo argumento funciona si $b=d\neq y_0$.
A continuación, el caso de $a=c=x_0$. De ello se desprende que $b \neq y_0$ e $d \neq y_0$. Aquí es donde usted necesita la hipótesis de que $|X|, |Y| \geq 2$. Podemos elegir un punto de $x'\in X$ que es diferente de $x_0$. Ahora crear la ruta de acceso en tres segmentos:
$$
(a,b) \(x',b) \(x',d) \a (c,d)
$$
trabajando en el obvio coordinar las rebanadas en cada pierna (ver el argumento para el primer caso). De esta forma se genera un camino de $(a,b) \to (c,d)$ en $Z$. Lo mismo funciona si $b=d=y_0$.
Por último, está el caso de $a \neq c$ e $b \neq d$. Construcción de dos diferentes de tres patas caminos
$$
(a,b) \a (c,b) \a (c,d)
$$
y
$$
(a,b) \(a,d) \a (c,d).
$$
No es difícil comprobar que $(x_0,y_0)$ no puede vivir en ambos de estos, así que uno de estos le da a la fuga. De ahí que hayamos terminado.
