Demostrar que $a_{n}=0$ para todos $n$ si $\sum a_{kn}=0$ para todos $k\geq 1$

Question

Sea $\sum a_{n}$ sea una serie absolutamente convergente tal que $$\sum a_{kn}=0$$ para todos $k\geq 1$ . Ayúdame a demostrar que $a_{n}=0$ para todos $n$ .

Gracias.

Answer 1

Supongo que su secuencia comienza en $n=1$

Pista: Obsérvese que podemos aislar cada término como $$a_k= \sum_{m=1}^\infty \left( \mu(m) \sum_{n=1}^\infty a_{knm} \right)$$ donde $\mu$ es el Función mu de Möbius . (y el índice $a_{mnk}$ es el producto de las variables $k,m,n$ ) Cuidado, la suma anterior en el lado derecho podría no ser absolutamente convergente, por lo que se necesita un argumento con sumas parciales para mostrar por qué lo es igual a $a_k$ .

Espero que le sirva de ayuda,

Answer 2

He aquí un enfoque probabilístico.

Definir dos medidas finitas $\mu$ et $\nu$ en $\mathbb{Z}_+$ por $\mu(\lbrace n\rbrace)=a_n^+$ et $\nu(\lbrace n\rbrace)={a_n}^-$ ; las partes positiva y negativa de $a_n$ . Las sumas cero del problema significan que $\mu(k\mathbb{Z}_+)=\nu(k\mathbb{Z}_+)$ para cada $k\geq 1$ .

La colección $\lbrace k\mathbb{Z}_+ : k\geq 1\rbrace$ es un $\pi$ -sistema (cerrado bajo intersecciones finitas) y genera el discreto $\sigma$ -campo en $\mathbb{Z}_+$ . La aplicación estándar ${}^*$ de Dynkin $\pi,\lambda$ muestra que $\mu=\nu$ . En particular,
$$\mu(\lbrace n\rbrace)=a_n^+ = {a_n}^-=\nu(\lbrace n\rbrace)$$ para todos $n$ Eso es, $a_n=0$ para todos $n\geq 1$ .

${}^*$ Por ejemplo, el Lemma 1.17 de la página 9 de la obra de Kallenberg Fundamentos de la probabilidad moderna .

Answer 3

He aquí una sugerencia .. tratar de "tamizado" para mostrar por primera vez $a_1 = 0$ . Primero resta $\sum a_{2n} = 0$ y obtenemos que la suma de $a_n$ en $n$ impar es cero. Luego resta $\sum a_{3n}$ y se obtiene que la serie resultante es cero. Pero ahora has restado cada $a_{6n}$ dos veces, por lo que se vuelve a sumar $\sum a_{6n}$ . Así que ahora ha eliminado todos $a_{2n}$ et $a_{3n}$ de su serie. A continuación, puede proceder a la eliminación de todos $a_{5n}$ y, a continuación, volver a añadir todos $a_{10n}$ y todos $a_{15n}$ y restando todos los $a_{30n}$ para eliminar todos los duplicados. El resultado final es que ha eliminado todos los $a_{2n}$ , $a_{3n}$ y $a_{5n}$ . Si sigues haciendo esto, acabarás eliminando todo excepto $a_1$ que, por tanto, es cero.

A continuación, repita el proceso para mostrar $a_2 = 0$ primero quitando $a_{3n}$ entonces todos $a_{4n}$ etc. Continúe de esta manera, hasta que todos $a_n$ son cero.

El único problema que veo aquí es asegurarse de que siempre puedes deshacerte de los duplicados, por eso lo digo como sugerencia... pero me parece plausible.

Answer 4

Sea $A(p_1, \dots, p_m)$ sea el conjunto de todos los números enteros divisibles por el primer $m$ primos $p_1, \dots, p_m$ .

Afirmo que $$S(m) = \sum_{n \in N \setminus A(p_1, \dots, p_m)} x_n = 0.$$

Si esto es cierto, entonces $$S(m) = x_1 + \sum_{n \in A} x_n = 0$$ donde $A \subseteq \{p_{m+1}, p_{m+1}+1, \dots\}$ . Es decir, $$|x_1| = \left| \sum_{x \in A} x_n \right| \leq \sum_{n \geq p_m}|x_n|.$$ Porque $\sum |x_n|$ converge, si dejamos que $m \to \infty$ obtenemos $x_1=0$ .

A continuación nos damos cuenta de que la secuencia $x_{kn}$ cumple las mismas condiciones que $x_n$ . Por lo tanto, se puede aplicar el mismo razonamiento anterior para concluir que $x_{1 \cdot k} = 0$ . De esto concluimos que toda la secuencia es cero idénticamente.

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Queda por demostrar $$S(m) = \sum_{n \in N \setminus A(p_1, \dots, p_m)} x_n = 0.$$ Porque $\sum_n x_n = 0$ esto equivale a mostrar $$S(m) = \sum_{n \in A(p_1, \dots, p_m)} x_n = 0.$$

Utilizando fórmula de inclusión exclusión ,

$$S(m) = \sum_{i=1}^m \left( (-1)^{i-1} \sum_{I \subseteq \{p_1, \dots, p_m\}, |I|=k} \sum_{n \in A(I)} x_n \right)$$

Donde la suma más interna es sobre todos los números que son múltiplos de un subconjunto de los primos en $\{p_1, \dots, p_m\}$ . Pero esta suma es de la forma $\sum_{n} x_{nk}$ para $k$ el producto de los primos del subconjunto, por hipótesis nuestra suma es cero. Por lo tanto, toda la expresión para $S(m)$ es cero. Esto demuestra nuestra afirmación, que luego se utiliza para demostrar nuestra afirmación inicial.