Pregunta sobre el isomorfismo de Aut(G)

Question

En el material suministrado por mi instructor es una pregunta que pide a recoger la incorrecta declaración de entre los siguientes:

1. Si $\text{Aut}(G_1)\cong \text{Aut}(G_2)$ e $G_1$ es infinita grupo, a continuación, $G_2$ también es infinito

2. Si $\text{Aut}(G_1) \cong \text{Aut}(G_2)$ e $G_1$ es finito grupo, a continuación, $G_2$ es también finito

3. Si $G_1$ no isomorfo a $G_2$ entonces Aut($G_1$) no es isomorfo a Aut($G_2$).

$G_1$ e $G_2$ son los dos grupos, Aut(G) es grupo de automorfismos y "$\cong$" significa isomorfismo.

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Sé que todos los tres de arriba son incorrectos como Aut($\Bbb Z_3$)=$U_3$ (es decir, $\Bbb Z_2$) y también me encontré con esta declaración en groupprops: "De los tres endomorphisms, dos son automorfismos: el mapa de identidad y la plaza del mapa. Estos forman un grupo cíclico de orden dos: la plaza mapa, aplicado dos veces, le da el mapa de identidad" y Aut($\Bbb Z$) es isomorfo a $\Bbb Z_2$ así

1. $G_1=\Bbb Z$ e $G_2=\Bbb Z_3$
2. $G_2=\Bbb Z$ e $G_1=\Bbb Z_3$
3. Podemos ver fácilmente $\Bbb Z$ e $\Bbb Z_3$ son no isomorfos, pero Aut($\Bbb Z$) y Aut($\Bbb Z_3$).

Pero la respuesta es que (1.) es sólo la instrucción incorrecta.

Hay algún problema en mi razonamiento?

Answer 1

Tienes razón en tu lógica. Es posible que el instructor cometió un error y entiende que uno debe recoger todas las declaraciones que son incorrectas cuando escribe el problema, que pasa a ser todos ellos. Tal vez apresuradamente compilar una ficha técnica de la solución en algún momento más adelante, vieron la primera fue incorrecta y viendo que el problema era elegir "" incorrecto que dieron como respuesta sin consultar a los demás.