Evaluar $\lim\limits_{x \to \infty}\frac{4^{x+2}+3^x}{4^{x-2}}$

Question

$$\lim_{x→∞}\frac{4^{x+2}+3^x}{4^{x-2}}.$$

Lo he resuelto como se indica a continuación: $$\lim_{x→∞}\left(\frac{4^{x+2}}{4^{x-2}}+\frac{3^x}{4^{x-2}}\right)=\lim_{x→∞}\left(4^4+\frac{3^x}{4^x}·4^2\right).$$ Ya que, como $x → ∞$ , $3^x → ∞$ , $\dfrac{3^x}{4^x} → 0$ el límite es igual a $4^4=256$ .

¿Lo he resuelto correctamente?

Esta era una pregunta del examen de práctica y la solución dada era incorrecta. Así que, lo resolví y me estoy preparando solo, ningún amigo para discutir, así que lo publiqué aquí.

Answer 1

Tus pasos son casi todos lógicos y se evalúan en el límite correcto, así que tu solución es correcta (casi).

Sin embargo, voy a hacer una puntualización con una cosa que has dicho:

Ya que, como $x \to \infty, 3^x \to \infty, \frac{3^x}{4^x} \to 0$

Técnicamente, ya que $3^x$ y $4^x$ ambos enfoques $\infty$ como $x \to \infty$ entonces bajo su lógica obtenemos una forma indeterminada:

$$\frac{3^x}{4^x} \to \frac{\infty}{\infty}$$

Sería mejor reagruparse $3^x/4^x$ como $(3/4)^x$ . Entonces, claramente, como $x \to \infty$ , $(3/4)^x \to 0$ porque $3/4 < 1$ . (Si no estás convencido, fíjate si tomas $x = 1, 2, 3, 4$ y así sucesivamente que $(3/4)^x$ claramente está disminuyendo).

Answer 2

Sí, la respuesta es correcta.

Observación:

• Mientras que $3^x \to \infty$ es verdadera, aunque hay que tener en cuenta que no se utiliza en la prueba.