¿Cómo se demuestra la existencia de $\pi^e$ , $\pi^{100^e}$ ... y otras maravillas utilizando la construcción Dedekind de los números reales?

Question

Una de las críticas que se hacen a la construcción de Dedekind de $\mathbb{R}$ por finitistas, ...etc y chiflados es que supuestamente sólo "funciona" para casos fáciles como racionales o $\sqrt{2}$ . ¿Cómo se prueba así la existencia de $\pi^e$ , $\pi^{100^e}$ ... y otras maravillas utilizando la construcción Dedekind de los números reales? Mi conjetura: Al igual que con la construcción utilizando secuencias de Cauchy, encontrar una serie que converge a $\pi^e$ por ejemplo y luego hacer un corte usando esa secuencia como "receta" (para ser más formales: el corte contendrá el $n$ ésimo elemento de la secuencia $a_n$ más todos los racionales que sean menores o iguales que $a_n$ ), aunque puede que nos encontremos con el problema de demostrar que tal secuencia converge a tal número en primer lugar sin haber definido dicho número.

En términos más generales, ¿cómo se demuestra que existen todos los reales imaginables utilizando la construcción de Dedekind?

Answer 1

Bien, hay dos preguntas aquí; en primer lugar, no es demasiado malo para definir la exponenciación directamente a través de Dedekind cortes.

En particular, supongamos que $x>1$ e $y\in\mathbb R$. Tenga en cuenta que, en este dominio, la función de $x^y$ va en aumento tanto en $x$ e $y$. Para representar esta operación con un Dedekind corte, sólo tenemos que caracterizar el conjunto de los racionales menos de $x^y$ en términos de los cortes correspondientes a $x$ e $y$.

Esto no es demasiado malo, podemos decir que la $p<x^y$ si y sólo si existen racionales $q<x$ e $a/b<y$ tal que $p<q^{a/b}$ o, equivalentemente, $p^b<q^a$. Algunas pruebas de que sería necesario para demostrar que esta operación es lo que se espera, pero no es demasiado malo, en cualquier caso.

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La segunda pregunta de la búsqueda de "todos los imaginables" puede venir por el hecho de que sólo porque usted define los reales por Dedekind cortes no significa que usted no puede probar que la afirmación "todas las secuencias de Cauchy converge en los reales" y, a continuación, utilizarlo para probar otras cosas. Tenga en cuenta que Dedekind cortes tienen la propiedad de que cualquier conjunto acotado como mínimo límite superior (tomar sólo la unión de la mitad inferior de cada corte) y que los reales forman un campo. Es decir, los reales construidos de esta manera satisfacer los axiomas para una completa (Arquímedes) ordenó campo, que le da acceso a básicamente cualquier cosa que usted quiere - a menudo estas propiedades son el punto de partida para el análisis de libros de texto.