Prueba de identidades de conjunto: caso de conjunto vacío.

Question

Actualmente estoy refrescante mi conocimiento en la ingenua teoría de conjuntos, y le gustaría demostrar que para todos los conjuntos de $A,B,C$ tenemos $$A\cap(B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C).$$

Entiendo que esto puede ser hecho por demostrar tanto $$A\cap(B \cup C) \subset (A \cap B) \cup (A \cap C) \ \text{and} \ (A \cap B) \cup (A \cap C) \subset A\cap(B \cup C) $$de la verdad.

Podemos hacer esta dejando $x$ ser un elemento arbitrario de $A\cap(B \cup C)$ y mostrando que es un elemento de $(A \cap B) \cup (A \cap C)$, y viceversa.

Pero ¿qué pasa cuando $A \cap (B \cup C)$ es el conjunto vacío? Entonces yo creo que no podemos dejar a $x$ ser un elemento arbitrario de $A \cap (B \cup C)$ ya que no hay ninguno. Sin embargo, soy consciente de que $A \cap (B \cup C) \subset (A \cap B) \cup (A \cap C)$ es trivialmente cierto en este caso.

En la matemática discreta curso que tomé en mi universidad, no he visto esos casos, ser traído a la atención. Deben ser mencionados en las pruebas de tales identidades? ¿Por qué / por qué no?

Si es así, algunas sugerencias en cuanto a cómo incorporarlos en las pruebas sería útil :-).

Answer 1

A fin de demostrar que para dos conjuntos de $X$ e $Y$ sostiene que $X\subseteq Y$, usted tiene que demostrar que

para cada $x$si $x\in X$, a continuación, $x\in Y$.

Tenga en cuenta que una declaración de la forma "si $\mathscr{A}$ entonces $\mathscr{B}$" es verdadero cuando

cualquiera de las $\mathscr{A}$ es falso o ambas $\mathscr{A}$ e $\mathscr{B}$ son verdaderas

Si $X$ es el conjunto vacío, entonces "$x\in X$" es falsa para todos los $x$; por lo tanto "si $x\in X$ entonces $x\in Y$" es cierto.

La frase "tomar un arbitrario $x\in X$" es posiblemente engañosa, pero su significado es "supongamos $x\in X$".

Answer 2

Si $D$ es el conjunto vacío, la siguiente afirmación siempre es verdadera: $$\text{If }x\in D\text{ then }\cdots$ $ sin importar lo que representan los puntos.

Es falso que $x\in D$ y "ex falso sequitur quodlibet". Una declaración falsa implica lo que quieras.

Por lo tanto, la suposición no te traerá problemas, sino que, por el contrario, te dará libertad para aceptar lo que quieras.

Answer 3

Como el conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto, no es necesario incluirlo en una prueba formal. Sin embargo, es una buena idea tener en cuenta el hecho de que la igualdad se mantiene incluso en el caso de conjuntos vacíos.