Un grupo abeliano finito "para llevar" juego

Question

Revisión de un número finito de grupo abelian $G=\bigoplus_{i=1}^{n} \mathbb{Z}/n_i\mathbb{Z}$. Supongamos que jugar el siguiente. Para cualquier $1 \leq k < |G| $, elegimos $k$ elementos del grupo al azar sin reemplazo. Si el $k$ elementos de la suma de a $0$, ganamos. Otra cosa que perder. Que $k$ debemos elegir? Por supuesto, $k$ depende de $G$ (que es más o menos caracterizados por la $n_i$'s).

Podemos hacer preguntas como esta para general no abelian grupos, donde el orden en que se eligen los elementos de la materia, y que es, precisamente, el orden en que se realice el grupo de operación. Pero sospecho que se pone duro, en este caso.

Nota I $\textit{expressly exclude}$ el caso de que $k=|G|$, por el simple hecho de que en general va a ser muy probable que los elementos se suma a $0$ en ese caso (por ejemplo, si el grupo tiene orden impar, o incluso se ha pedido y más de un elemento de orden $2$).

Tenga en cuenta también que las respuestas parciales son aceptables ya que esto parece ser un problema fácil. Por ejemplo, si usted tiene una respuesta para el caso específico en el cual $G$ es cíclica, siéntase libre de mención.

Answer 1

Me escribió un programa en el magma que se calcula esta. La salida está por debajo. La primera son los abelian invariantes, la probabilidad de que, como $k$ pistas de $1$ a $|G|$. El código está en la final (se puede ejecutar aquí:http://magma.maths.usyd.edu.au/calc/) Sería fácil de ejecutar, o modificar para calcular el máximo de $k$, etc.

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[ 2 ]

[ 1/2, 0 ]

[ 3 ]

[ 1/3, 1/3, 1 ]

[ 4 ]

[ 1/4, 1/6, 1/4, 0 ]

[ 2 de 2 ]

[ 1/4, 0, 1/4, 1 ]

[ 5 ]

[ 1/5, 1/5, 1/5, 1/5, 1 ]

[ 6 ]

[ 1/6, 2/15, 1/5, 1/5, 1/6, 0 ]

[ 7 ]

[ 1/7, 1/7, 1/7, 1/7, 1/7, 1/7, 1 ]

[ 8 ]

[ 1/8, 3/28, 1/8, 9/70, 1/8, 3/28, 1/8, 0 ]

[ 2, 4 ]

[ 1/8, 1/14, 1/8, 1/7, 1/8, 1/14, 1/8, 1 ]

[ 2, 2, 2 ]

[ 1/8, 0, 1/8, 1/5, 1/8, 0, 1/8, 1 ]

[ 9 ]

[ 1/9, 1/9, 5/42, 1/9, 1/9, 5/42, 1/9, 1/9, 1 ]

[ 3 de 3 ]

[ 1/9, 1/9, 1/7, 1/9, 1/9, 1/7, 1/9, 1/9, 1 ]

[ 10 ]

[ 1/10, 4/45, 1/10, 11/105, 13/126, 2/21, 1/10, 1/9, 1/10, 0 ]

[ 11 ]

[ 1/11, 1/11, 1/11, 1/11, 1/11, 1/11, 1/11, 1/11, 1/11, 1/11, 1 ]

[ 12 ]

[ 1/12, 5/66, 19/220, 14/165, 1/12, 19/231, 1/12, 43/495, 19/220, 5/66, 1/12, 0 ]

[ 2, 6 ]

[ 1/12, 2/33, 19/220, 1/11, 1/12, 6/77, 1/12, 1/11, 19/220, 2/33, 1/12, 1 ]

[ 13 ]

[ 1/13, 1/13, 1/13, 1/13, 1/13, 1/13, 1/13, 1/13, 1/13, 1/13, 1/13, 1/13, 1 ]

[ 14 ]

[ 1/14, 6/91, 1/14, 73/1001, 1/14, 212/3003, 41/572, 31/429, 1/14, 10/143, 1/14, 1/13, 1/14, 0 ]

[ 15 ]

[ 1/15, 1/15, 31/455, 1/15, 67/1001, 67/1001, 1/15, 1/15, 67/1001, 67/1001, 1/15, 31/455, 1/15, 1/15, 1 ]

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Se puede ejecutar de aquí: http://magma.maths.usyd.edu.au/calc/

Aquí está el programa:

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para n en [2..15] ¿

for i in [1..NumberOfSmallGroups(n)] ¿

G:=SmallGroup(n,i);

si IsAbelian(G), a continuación,

AbelianInvariants(G);

lista:=[];

por k en [1..n] do

f:=NumberingMap(G);

N:={1..n};

bueno:={};

Subs:=Subconjuntos(N,k);

para S en Subconjuntos(N,k) ¿

prod:=Identidad(G);

para s en S hacer

prod:=prod*(s@@f);

final;

si prod eq Identidad(G), a continuación,

bueno:=buena unirse {S};

end if;

final;

lista[k]:=#bueno/#de Suscriptores;

final;

de la lista;

end if;

final;

final;