¿Qué es "exterior" en un producto exterior?

Question

Esta es una pregunta sobre la terminología. ¿Qué es "interno" sobre un producto interno, o "externo" sobre un producto externo?

Answer 1

Esta terminología (o más bien su traducción literal al alemán) fue introducida por Grassmann.

Llamé al primer producto exterior, al segundo interior, reflejando que el primero era distinto de cero sólo cuando implicaba direcciones independientes, el segundo sólo cuando implicaba una compartida, es decir, parcialmente común.

H. Grassmann, La teoría de la expansión lineal [archive.org] (1844) x-xi.

NB las palabras del texto original traducidas en el extracto anterior a exterior y interior son respectivamente äussere y innere pero también pueden traducirse respectivamente a exterior y interior y ahora los cuatro términos tienen significados distintos en este contexto.

Para más detalles, véase la respuesta a la misma pregunta en MathOverflow, de donde se extrajo la traducción anterior (este préstamo motivó la creación de esta respuesta como respuesta de la wiki de la comunidad):

Etimología de "exterior" en "cálculo exterior" .

Answer 2

Consideremos el caso n=3. El producto interior de dos vectores es distinto de cero cuando uno vive en el tramo del otro. El producto exterior de dos vectores es distinto de cero cuando uno vive fuera del tramo del otro.

Esta terminología se remonta a uno de los primeros textos alemanes sobre álgebra lineal, pero no recuerdo bien el nombre. Volveré si lo recuerdo.

EDIT: He encontrado mi fuente. Mira la sección 1.2 de este .

Answer 3

El producto exterior (= exterior) toma valores en un espacio de dimensión "superior": si $V$ tiene dimensión $n$ y $v, w \in V$ entonces $v \wedge w \in \Lambda^2(V)$ y que el espacio tiene dimensión $\binom{n}{2}$ que es mayor que $n$ cuando $n > 3$ . En el espacio euclidiano, el producto cuña de dos vectores se representa mediante un paralelogramo con los vectores originales como aristas.

La terminología interior/exterior se remonta a Grassmann.

Answer 4

Bueno, si tomo el producto interno de dos vectores, voy desde el espacio vectorial completo hasta el campo base sobre el que está definido, así que es interno en ese sentido. En cuanto al producto externo pienso en esto en términos de multiplicación de matrices, si invertimos el producto interno $x^Ty$ a $xy^T$ para vectores columna en un espacio de dimensión $n$ en lugar de eso terminamos con una matriz que es un espacio vectorial más grande que el espacio original con $n^2$ dimensiones. Metafóricamente pienso en esto como la identificación de un espacio vectorial con un subespacio de un espacio más grande, y el resto de ese espacio es el "espacio exterior" de la misma manera que la Tierra está en un universo mucho más grande.