Estoy leyendo Complejo en Simple por David C. Ullrich. No es el resultado de lo que estoy deduciendo falsas conclusiones, por lo que deben ser malentendido de alguna manera:
Lema 1.0. Supongamos $(c_n)_{n = 0}^{\infty}$ es una secuencia de números complejos, y definir $R \in [0, \infty]$ por
$$R = \sup \{r \ge 0: \text{the sequence } (c_nr^n) \text{ is bounded}\}.$$
Entonces, el poder de la serie de $\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n$ converge absoluta y uniformemente en cada subconjunto compacto de la disco $D(z_0, R)$ y difiere en cada punto de $z$ con $|z-z_0|>R$.
Mi falsa conclusión:
Deje $c_n$ ser una secuencia de números complejos y supongamos que $c_n r^n$ está acotada. A continuación, $\sum_{n=0}^{\infty} c_n r^n$ converge.
Mi razonamiento:
Deje $c_n$ ser cualquier secuencia de números complejos. La serie $\sum_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n$ converge absolutamente siempre $|z - z_0|<R$, lo $\sum_{n=0}^{\infty}c_nr^n$ converge siempre que $r < R$, lo $\sum_{n=0}^{\infty}c_nr^n$ converge siempre que $c_n r^n$ está acotada.
