¿Por qué es la función valor absoluto o módulo de función $|x|$ utiliza ? ¿Cuáles son sus usos?
Por ejemplo, el cuadrado de un número de módulo siempre será positivo, pero ¿por qué se utiliza cuando, por ejemplo, el cuadrado de cualquier número, ya sea positiva o negativa es siempre positivo ? Por ejemplo, $X^2$, le dará un número positivo ya sea negativo o positivo, donde $X$ es cualquier número positivo o negativo.
Un uso de la misma es definir la distancia entre los números. Por ejemplo, en cálculo, puede decir "la distancia entre <span class="math-container">$x$</span> y <span class="math-container">$y$</span> es menor que <span class="math-container">$1$"</span>. La forma de escribir que matemáticamente es <span class="math-container">$|x-y|. Y que quiere escribir matemáticamente para que pueda trabajar con él matemáticamente.</span>
La notación $\vert x\vert$ para el valor absoluto de a$x$ fue introducido por Weierstrass en 1841:
K. Weierstrass, Mathematische Werke, Vol. I (Berlín, 1894), pág. 67.
Citado en [1]
...Ha habido una necesidad real en el análisis de un hotel de simbolismo para "valor absoluto" de un número dado, o "número absoluto", y los dos barras verticales que se introdujo en 1841 por Weierstrass, como en $\vert z\vert$, se han reunido con amplia adopción;...
Información adicional: Absoluta es del latín absoluere, "libre de"; por tanto, lo que sugiere, a la libre de su signo.
[1] Florian Cajori, Una Historia de Notaciones Matemáticas (Dos volúmenes encuadernados como uno), Publicaciones de Dover, 1993.
Mi opinión sobre un ejemplo de uso de valor absoluto: $$ min(x,y)=\frac{1}{2}(|x+y|-|x-y|) $$ $$ max(x,y)=\frac{1}{2}(|x+y|+|x-y|) $$
En el contexto de los números reales el valor absoluto de un número es utilizado en muchas maneras, pero tal vez muy elementarily se utiliza para escribir los números en una forma canónica. Cada número real $a\ne 0$ única es igual a $\pm \left |a\right|$. Así, si definimos la función sign $s\colon \mathbb R\setminus\{0\}\to \{+,-\}$ dado por $s(a)=+$ si $a>0$ e $s(a)=-$ si $a<0$, entonces: para todos los $a\ne 0$ en $\mathbb R$ tenemos $a=sign(a)\cdot \left | a \right |$. En un sentido, esta es una manera de construir todos los reales a partir de los positivos. Todo esto es simplemente un caso especial de la representación polar de los números complejos, una representación de la mayor importancia.
Usted menciona explícitamente la función cuadrado. Por lo tanto, quiero dar algunos ejemplos. La idea principal es que el no-la diferenciabilidad de $|\cdot|$ es útil en el problema de minimización.
Sabemos que la media aritmética $\hat{\mu}=\sum_{i=1}^n x_i$ da
$$\min_{\mu} \,(x_i-\mu)^2$$
pero es menos conocido que el de la mediana da
$$\min_{\mu} \, |x_i-\mu|.$$
Vamos a utilizar el procesamiento de la imagen como un ejemplo. Supongamos $g$ es un hecho, con mucho ruido de la imagen. Queremos encontrar alguna imagen suavizada $f$ que se parece a $g$.
La Armónica L$^2$ modelo de minimización de soluciona
$$-\bigtriangleup f + f = g $$
y resulta ser equivalente a la solución de un problema de minimización:
$$\min_{f} \,(\int_{\Omega} (f(x,y)-g(x,y))^2 dxdy + \int_{\Omega} |\nabla{f(x,y)}|^2 dxdy).$$
Una versión mejorada es el ROF del modelo. Se resuelve
$$\min_{f} \,(\frac{1}{2} \int_{\Omega} (f(x,y)-g(x,y))^2 dxdy + \lambda \int_{\Omega} |\nabla{f(x,y)}| dxdy).$$
Observe que para que proceda $\lambda$, estos dos modelos se diferencian por una plaza. Otra observación es que $|\cdot|$ da la norma Euclídea cuando el argumento es un vector. Sin embargo, la idea sigue siendo válida ya que la norma no es cero
En el modelo clásico de la selección del problema, se nos da un conjunto de predictores y una respuesta (en formato vectorial). Queremos decidir que los predictores son útiles. Una manera de hacerlo es elegir un "buen" subconjunto de los predictores. Otra forma es reducir los coeficientes de regresión.
El clásico modelo de regresión resuelve el siguiente problema de minimización:
$$\min_{\beta_0,...,\beta_p} \sum_{i=1}^n (y_i-\beta_0-\sum_{j=1}^p \beta_j x_{ij})^2$$
La Cresta de Regresión resuelve los siguientes:
$$\min_{\beta_0,...,\beta_p} \sum_{i=1}^n (y_i-\beta_0-\sum_{j=1}^p \beta_j x_{ij})^2+\lambda \sum_{j=1}^p {\beta_j}^2$$
, de modo que a mayor $\beta_j$ da pena.
Otra versión es de Lazo, que resuelve
$$\min_{\beta_0,...,\beta_p} \sum_{i=1}^n (y_i-\beta_0-\sum_{j=1}^p \beta_j x_{ij})^2+\lambda \sum_{j=1}^p |\beta_j|.$$
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