Conjunto Vitali de medida exterior exactamente $1$ .

Question

Sé que para cualquier $\varepsilon\in (0,1]$ podemos encontrar un subconjunto no medible (respecto a la medida de Lebesgue) de $[0,1]$ para que su medida exterior sea exactamente igual a $\varepsilon$ . Se hace básicamente con la construcción tradicional de Vitali dentro del intervalo $[0,\varepsilon]$ y observando que tal conjunto lleva masa interna cero, y por tanto su complemento en $[0,\varepsilon]$ (siendo también no medible) debe llevar toda la masa exterior de $[0,\varepsilon]$ .

Sin embargo, este conjunto no medible resultante es un complemento del conjunto construido de Vitali tradicional. Mi pregunta es si la propia construcción de Vitali puede dar lugar a un conjunto no medible con una medida exterior de exactamente $1$ (o cualquier número decidido de antemano de $(0,1]$ ). Se pueden hacer algunas modificaciones dentro de la construcción, por supuesto, pero en particular me gustaría no tomar complementos. ¿Tal vez alguien sabe cómo se puede hacer esto?

Se agradece cualquier referencia y aportación. Gracias de antemano.

Answer 1

$\newcommand{\c}{\mathfrak{c}}$ Dejemos que $\c$ denotan el cardinal del continuo y bien ordenan los subconjuntos de Borel de $[0,1]$ como $(B_\alpha)_{\alpha < \c}$ . Construimos por recursión transfinita una secuencia $(x_\alpha)_{\alpha < \c}$ de elementos de $[0,1]$ tal que:

(a) $x_\alpha$ es el equivalente de Vitali a $x_\beta$ para todos $\beta < \alpha$ y

(b) $x_\alpha \in [0,1] \setminus B_\alpha$ si $[0,1] \setminus B_\alpha$ es incontable.

Obsérvese que este proceso no puede atascarse, ya que si el complemento de $B_\alpha$ es incontable entonces tiene cardinalidad $\c$ y, por lo tanto, cumple una clase de equivalencia de Vitali no utilizada (ya que a lo sumo $|\alpha| < \c$ se han utilizado hasta ahora). Entonces, al establecer $X = \{x_\alpha : \alpha < c\}$ obtenemos un conjunto tal que siempre que $B$ es un conjunto de Borel con $X \subseteq B$ entonces $B$ tiene complemento contable (y en particular tiene medida $1$ ). Así que $X$ tiene medida exterior $1$ como se desee.