¿Cuál es la definición real de invariancia conformacional?

Question

He visto una gran variedad de definiciones ligeramente diferentes de la invariancia conformacional. Para simplificar, sólo consideraré la invariancia de escala, que ya es bastante confusa. Algunas de las definiciones son:

1. La acción se mantiene igual bajo un paso de flujo RG. (Durante este paso, hay que realizar un reescalado de la forma $\phi'(x) = \Omega(x)^{-\gamma} \phi(x)$ donde $\gamma$ es la dimensión de ingeniería corregida por la dimensión anómala).
2. La función de partición sigue siendo la misma si la métrica $g_{\mu\nu}$ se sustituye por $\Omega(x)^2 g_{\mu\nu}$ .
3. La acción sigue siendo la misma si el campo $\phi(x)$ se sustituye por $$\phi'(x') = \Omega(x)^{-\Delta} \phi(x).$$
4. La función de partición sigue siendo la misma si el campo $\phi(x)$ se sustituye por $$\phi'(x') = \Omega(x)^{-\Delta} \phi(x).$$

No me parece evidente que las cuatro definiciones sean equivalentes, o incluso que lo sean. Además, no estoy seguro de que $\gamma$ se supone que es $\Delta$ o si $\Delta$ es simplemente la dimensión de la ingeniería, o si es algo totalmente distinto. Sin embargo, todas las fuentes que he visto se limitan a elegir una de estas cuatro definiciones como la oficial, y luego utilizan las otras tres indistintamente.

¿Cuál es la definición "adecuada" de una CFT, y cuáles de las otras son equivalentes y por qué?

Answer 1

La definición adecuada de una teoría de campos conformes (ininterrumpida) es que todas las funciones escalares de n puntos (o equivalentemente, su funcional generadora, una especie de función de partición) permanecen sin cambios cuando cada campo (incluyendo la métrica, si es un campo) se transforma según una representación del grupo conforme y el elemento de volumen (si la métrica no es un campo) se transforma por el factor conforme estándar.

Todas las demás afirmaciones que menciona son aproximaciones a esto, equivalentes sólo bajo supuestos adicionales. Por ejemplo, ya que preguntaste por la invariancia conformacional, pero afirmaste cosas sobre la invariancia de escala solamente, siempre tienes que añadir el requisito de la co/invariancia de Poincare de los campos respectivos. Aparte de eso, necesitas asumir un contenido de campo específico, y para 3. también que la CFT está descrita por una acción (muchas no lo están). 2. y 4. deben asumirse conjuntamente.

La condición 1. es una consecuencia del hecho de que como las CFT son invariantes de escala, son puntos fijos del flujo del grupo de renormalización. A la inversa, los puntos fijos son invariantes de escala, pero es una cuestión abierta si eso implica invariancia conformacional. Pero las QFTs invariantes de escala son típicamente conformes.

En cualquier caso, para escalar los campos físicos (es decir, renormalizados), $\Delta$ debe ser la verdadera dimensión, incluyendo los términos anómalos (si los hay).