Evaluación $\int P(\sin x, \cos x) \text{d}x$

Question

Supongamos que $\displaystyle P(x,y)$ un polinomio en las variables $x,y$.

Por ejemplo, $\displaystyle x^4$ o $\displaystyle x^3y^2 + 3xy + 1$.

Hay un método general que permite evaluar la integral indefinida

$$ \int P(\sin x, \cos x) \text{d} x$$

Lo que sobre el caso cuando $\displaystyle P(x,y)$ es una función racional (es decir, un cociente de dos polinomios)?

Ejemplo de una función racional: $\displaystyle \frac{x^2y + y^3}{x+y}$.

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Este es formulada en un esfuerzo para reducir los duplicados, consulte aquí: Afrontamiento con *resumen* duplicado de preguntas.

y aquí: Lista de las Generalizaciones de las Preguntas más Comunes.

Answer 1

Hay varios enfoques generales para las integrales que involucran expresiones con senos y cosenos, expresiones polinómicas de ser los más sencillos.

Weierstrass Sustitución

Un método que siempre funciona es de Weierstrass de sustitución, que se convierte en un integral en una integral de una función racional, que a su vez puede siempre ser resuelto, al menos en principio, por el método de fracciones parciales. Esto funciona incluso racional de las funciones de seno y coseno, así como las funciones que involucran las otras funciones trigonométricas.

Weierstrass sustitución reemplaza senos y cosenos (y, por extensión, tangentes, cotangents, secantes, y cosecants) por funciones racionales de una nueva variable. Las identidades de comenzar por el trigonométricas sustitución $t = \tan\frac{x}{2}$, $- \pi\lt x\lt \pi$, lo que produce $$\begin{align*} \sin x &= \frac{2}{1+t^2}\\ \cos x &= \frac{1-t^2}{1+t^2}\\ dx &= \frac{2\,dt}{1+t^2}. \end{align*}$$ Por ejemplo, si tenemos $$\int \frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}\,dx$$ mediante la sustitución de la anterior obtenemos: $$\begin{align*} \int\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}\,dx y= \int\left(\frac{\quad\frac{2}{1+t^2} - \frac{1-t^2}{1+t^2}\quad}{\frac{2}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2}}\right)\left(\frac{2}{1+t^2}\right)\,dt\\ &= \int\left(\frac{\quad\frac{2t-1+t^2}{1+t^2}\quad}{\frac{1+2t-t^2}{1+t^2}}\right) \left(\frac{2}{1+t^2}\right)\,dt\\ &= \int\left(\frac{2t-1+t^2}{2t+1-t^2}\right)\left(\frac{2}{1+t^2}\right)\,dt\\ Y= 2\int\frac{2t-1+t^2}{(1+t^2)(2t+1-t^2)}\,dt \end{align*}$$ que luego pueden ser integradas por el método de fracciones parciales.

Las sustituciones y la Reducción de las fórmulas

Sin embargo, por lo general hay métodos más rápidos, en particular para las expresiones polinómicas. Mediante la ruptura de la integral en una suma de integrales correspondientes a la monomials, el problema se reduce a resolver las integrales de la forma $$\int \left(\sin x\right)^n \left(\cos x\right)^m\,dx$$ con $n$ y $m$ números enteros no negativos. Los métodos estándar, a continuación, son:

1. Si $n$ es impar, entonces "reserva" una sinusoidal, y transformar a los demás en los cosenos mediante el uso de la identidad $\sin^2 x = 1-\cos^2x$. Luego de hacer el cambio de variable $u=\cos x$ para transformar la integral en la integral de un polinomio. Por ejemplo, $$\int \left(\sin x\right)^5\left(\cos x\right)^2\,dx,$$ a continuación, tomar $(\sin x)^5$, y escribo como $$\sin x(\sin x)^4 = \sin x(\sin^2)^2 = \sin x(1-\cos^2 x)^2.$$ A continuación, la configuración de $u=\cos x$ y $du = -\sin x\,dx$, obtenemos $$\int\left(\sin x\right)^4\left(\cos x\right)^2\,dx = \int \sin x\left(1-\cos^2x\right)^2\left(\cos x\right)^2\,dx = -\int (1-u^2)^2u^2\,du$$ que puede ser resuelto fácilmente.

2. Si $m$ es impar, entonces hacer el mismo truco por "reserva" una coseno y el uso de la sustitución de $u=\sin x$. Por ejemplo, $$\int \sen^2x\cos^3x\,dx = \int \sen^2x(\cos^2x)\cos x\,dx = \int(\sin^2x)(1-\sin^2)\cos x\,dx$$ y, a continuación, configuración de $u=\sin x$, $du = \cos x\,dx$, obtenemos $$\int \sen^2x\cos^3x\,dx = \int u^2(1-u^2)\,du$$ que puede ser resuelto fácilmente de nuevo.

3. Si $n$ y $m$ son ambos inclusive, a continuación, reemplazar todos los senos con los cosenos o viceversa, usando $\sin^2 x = 1 - \cos^2x$ o $\cos^2x = 1-\sin^2 x$, y ampliar. Esto dejará las integrales de la forma $$\int \sin^n x\,dx\qquad\text{o}\quad \int \cos^m x\,dx$$ con $n$ y $m$ incluso positivo e incluso. En esa situación, uno puede utilizar la reducción de las fórmulas, que puede obtenerse mediante integración por partes: $$\begin{align*} \int \sin^n x\,dx y= - \frac{1}{n}\sin^{n-1} x\cos x + \frac{n-1}{n}\int \sin^{n-2}x\,dx,\\ \int \cos^m x\,dx &= \frac{1}{m}\cos^{m-1} x\sin x + \frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2}x\,dx. \end{align*}$$ Mediante la aplicación repetida de estas fórmulas, uno finalmente termina con una integral de la forma $\int \,dx$ que se pueden resolver directamente.

El proceso puede ser reducido si usted sucede irregular o conocer algunas identidades trigonométricas; por ejemplo, la reducción de poder de las fórmulas permiten reemplazar las potencias de senos o cosenos por expresiones de múltiples ángulos, por ejemplo, $$\sin^4\theta = \frac{3-4\cos(2\theta)+\cos(4\theta)}{8}$$ podría reemplazar con una sola integral con tres integrales que se puede hacer con bastante facilidad a través de la sustitución.

Otros métodos

Si usted es lo suficientemente cómoda como la integración de funciones de una variable compleja, entonces el método descrito por Qiaochu va a transformar cualquier integral que implica senos y cosenos de alguna manera en un integral que involucra las funciones exponenciales en su lugar.

Answer 2

Cálculo libros enseñan un molesto método basado usando identidades trigonométricas para reducir la integral a una donde trigonométricas sustitución puede ser aplicado. Este método requiere un poco de valor-trabajo para determinar que la identidad debe ser aplicado, y mi recuerdo es que no siempre funciona.

Aquí es completamente mecánico método que siempre funciona, aunque por simple $P$ esto puede requerir más de cálculo de un método más inteligente. En lugar de utilizar $\sin \theta, \cos \theta$, el uso de la compleja exponencial $e^{i \theta}$; entonces la fórmula de Euler $e^{i \theta} = \cos \theta + \sin \theta$ le dice que $$\cos \theta = \frac{e^{i \theta} + e^{-i \theta}}{2}, \sin \theta = \frac{e^{i \theta} - e^{-i \theta}}{2}$$

y ahora el problema se reduce a la integración de una suma de exponenciales.

Ejemplo. La integral $\int_{0}^{2\pi} \cos^{2n} \theta \, d \theta$ ha salido varias veces en las matemáticas.SE en una forma u otra. Es fácilmente resuelto mediante este método: escribir como

$$\frac{1}{4^n} \int_0^{2\pi} e^{i \theta} + e^{-i \theta})^{2n} \, d \theta$$

y tenga en cuenta que cuando la integración de de $0$ a $2\pi$ todos los términos desaparecen, excepto el término constante, por lo que la respuesta final es

$$\frac{2\pi}{4^n} {2n \elegir n}.$$

Este método se generaliza al caso en el que $P$ es reemplazada por una función racional; en caso de que el integrando se convierte en una función racional de $e^{i \theta}$ (en lugar de un polinomio de Laurent) y el uso de $u$-sustitución se puede reducir el problema de la integración de una función racional, que se puede hacer en un número de maneras (parcial fracciones, residuos...).