¿Es$\{n\>mod\> \pi: n \in \mathbb{N}\}$ denso en$[0,\pi]$?

Question

¿Es$\{n\>mod\> \pi: n \in \mathbb{N}\}$ denso en$[0,\pi]$? ¿Hay alguna prueba o teorema bien conocido para este resultado?

Mi intuición diría que es densa.

Answer 1

Deje $\{\cdot\}$ ser la parte fraccionaria. $\Bbb N$ es el conjunto de positivos enteros. Como preliminar de la propiedad, tenga en cuenta que si $x$ es real y $m,n$ son enteros, entonces $\{m\{nx\}\}=\{mnx\}$.

Deje $x$ ser un número irracional. A continuación, $\{nx\}\neq 0$ por cada $n\in\Bbb N$. Por el momento, vamos a ver lo siguiente:

Para cada $\epsilon>0$, existe alguna $n\in\Bbb N$ tal que $\{nx\}<\epsilon$.

Supongamos que no. A continuación, $\delta=\inf\big\{\{nx\}:n\in\Bbb N\big\}$ no $0$. Obviamente, $\delta<1$. Deje $m$ ser el natural tal que $\delta m\ge 1$$\delta(m-1)<1$. Tenemos entonces $1\le m\delta<1+\delta$.

Tomar cualquier $0<\epsilon<1+\delta-m\delta$. Existe alguna $k\in\Bbb N$ tal que $0<\{kx\}-\delta<\epsilon/m$, por lo que $$1\le\delta m<m\{kx\}<m\delta+\epsilon<1+\delta<2$$ Por lo tanto $$0<\{kmx\}<m\delta+\epsilon-1<\delta,$$ una contradicción.

Ahora la prueba:

Para cada intervalo de $(a,b)\subset[0,1]$, hay algunos $n$ tal que $\{nx\}\in(a,b)$. Es decir, $\big\{\{nx\}:n\in\Bbb N\big\}$ es denso en $[0,1]$.

Sabemos que no es $m\in\Bbb N$ tal que $0<\{mx\}<b-a<1$. Ahora toma el mínimo entero $k$ tal que $k\{mx\}>a$. A continuación,$a<\{kmx\}<b$.

Answer 2

Sugerencia según el teorema de aproximación de Dirichlet $\frac{n}{\pi} \pmod{1}$ es denso en$[0,1)$.

Puede demostrar fácilmente que esto es equivalente a su declaración.