¿La restricción del operador unitario es unitaria?

Question

Deje que$\mathcal{U}: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ sea un operador unitario en un espacio de Hilbert$\mathcal{H}$. Si$\mathcal{K}\subset \mathcal{H}$ es un subespacio cerrado tal que$\mathcal{U}(\mathcal{K})\subset \mathcal{K}$, ¿es necesariamente el caso que$\mathcal{U}(\mathcal{K})=\mathcal{K}$? Gracias.

Answer 1

Deje que$\mathcal H$ sea el espacio de Hilbert de secuencias sumables cuadradas indexadas por$\mathbb Z$, así que$$\mathcal H = \{ (a_n)_{n \in \mathbb Z} \, | \, \sum_n |a_n|^2 < \infty \}.$ $

Deje que$U : \mathcal H \to \mathcal H$ sea el operador de turno$(a_n)_{n \in \mathbb Z} \mapsto (a_{n-1})_{n \in \mathbb Z}$. Si$\mathcal K$ denota el subespacio de secuencias tal que$a_n = 0$ si$n < 0$, entonces$\mathcal K$ es invariante bajo$U$, pero$U$ no es positivo cuando prohibido para $\mathcal K$.