Levantar un mapa con valor$\mathbb{RP}^{n-1}$ a un mapa con valor$S^{n-1}$.

Question

Deje $M$ ser suave, un colector y supongamos que para cada una de las $v\in M$, tengo un vector de $v(m)\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ con alguna propiedad, y este vector es único a múltiples: además, depende suavemente en $m$. Me gustaría definir un suave mapa de $F: M\to S^{n-1}$ que envía a $m$ a un representante de la unidad de vector con la propiedad requerida. Bajo qué condiciones se puede hacer esto?

Entiendo que es una elevación problema: quiero levantar un suave mapa de $f: M\to\mathbb{RP}^{n-1}$ a un mapa de $F: M\to S^{n-1}$. Si es necesario, puedo asumir que $\mathrm{dim}\, M<n-1$ pero no estoy seguro de si es suficiente. A continuación, $f(M)$ "dimensión inferior", a continuación, $n-1$ y puedo asumir que aviods un punto, pero que difícilmente se puede asumir que aviods toda la $\mathbb{RP}^{n-2}$ (en cuyo caso podría definir una sección global en $\mathbb{RP}^{n-1}\setminus\mathbb{RP}^{n-2}\to S^{n-1}$)..

Cualquier sugerencia por favor?

Answer 1

El problema está en$\pi_1$. Considere el mapa de identidad de$\mathbb {RP}^2$ a sí mismo; ¿Esto eleva a un mapa a$S^2$? ¿No por qué no? Porque en el nivel de$\pi_1$, es el mapa de identidad. Dado que$\pi_1(S^2)$ es trivial, el mapa de identidad no trivial en$\mathbb Z / \mathbb {2Z}$ no puede influir en ello.

¿Qué pasa si (en tu pregunta) el mapa de$\pi_1(M) \to \pi_1(\mathbb {RP}^n)$ es trivial? Entonces, la propiedad de elevación de homotopía le dice que el mapa que está buscando existe.