Obligando a Cohen y límites sobre la violación de GCH

Question

Recuerdo (aunque podría ser mi falta de memoria) un ejercicio de algún libro (tal vez Jech?) que fue a lo largo de las líneas

"Supongamos $\mathrm{GCH}$ mantiene en $V$ $P$ es un Cohen obligando a los que añade $\kappa$ subconjuntos de a$\lambda$, $V[G]$ existe alguna $\beta$ tal que $\mathrm{GCH}$ mantiene por encima de $\aleph_\beta$".

Por supuesto, hay una suposición de que $P$ es un conjunto, de lo contrario Easton teorema nos dice lo contrario.

Si este es, en efecto, de Jech de la Teoría de conjuntos , a continuación, lo más probable es correcto, y no veo la razón de por qué; si es un resultado de algunos sectores malos en mi cerebro, yo todavía no puede venir con un contraejemplo.

(También, si es que de algún libro que me encantaría tener la referencia!)

Answer 1

Un recuento de argumento funciona en este caso. Sin pérdida de generalidad $P$ es en realidad un completo álgebra Booleana. En este caso, los nombres de los subconjuntos de un cardenal $\mu$ $V[G]$ puede ser equiparada con el modelo de terreno funciones de $f:\mu \to P$ donde $f(\xi)$ es el valor Booleano que $\xi$ está en el conjunto en cuestión. Hay $(|P|^{\mu})^V$ tales funciones, de modo que cuando $(|P|)^V \leq (2^{\mu})^V = (\mu^+)^V$ sólo hay $(\mu^+)^V$ tales funciones en el modelo de terreno. Ya que cada subconjunto de $\mu$ en la extensión genérica $V[G]$ tiene al menos un nombre, llegamos a la conclusión de que $(2^\mu)^{V[G]} \leq (\mu^+)^V$. Ya que no podemos tener menos de $(\mu^+)^{V}$ subconjuntos de a $\mu$, llegamos a la conclusión de que $(\mu^+)^V = (\mu^+)^{V[G]} = (2^\mu)^{V[G]}$. Por lo tanto, la GCH tiene para todos los cardenales $\mu$ $V[G]$ tal que $(|P|)^V \leq (2^\mu)^V$.