Por qué isn ' convergencia condicional t una cuestión cuando definir $\sigma$-aditividad de las medidas

Question

Una firma de medida $\mu$ tiene que satisfacer $$\mu(\bigcup_{n=1}^\infty A_n)=\sum_{n=1}^\infty\mu(A_n)$$ para $A_n$ discontinuas y medibles. Claramente la LHS, no depende de la reorganización de la secuencia de $(A_n)$, pero no está tan claro (para mí) de los RHS. ¿Qué sucede si usted elige $A_n$, de modo que el lado derecho converge condicionalmente? No Riemann, de reordenación del teorema de llevar a un problema?

O me estoy perdiendo algo tonto o que sólo "definición" de esta posibilidad. Miré en la página de la Wikipedia y mi probabilidad de libro (Shirjaeva) y tampoco soluciona el problema.

Answer 1

Por definición, para cualquier $\mu$ que satisface la definición de una firma de medir, de una suma no puede ser condicionalmente convergente. Tiene que ser absolutamente convergente, ya que de lo contrario - como se observa - la RHS no sería el fin de invariantes por Riemann, de reordenación del teorema, mientras que el lado izquierdo es.

Así que si $\mu$ es una firma de medida, para cualquier secuencia de los distintos conjuntos medibles $(A_n)_{n\in\mathbb{N}}$, $\left\lvert \sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)\right\rvert < \infty$ implica absoluta convergencia de la serie $\sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)$.

Como se mencionó en un comentario, esto es discutido brevemente (pero de forma explícita), por ejemplo, en Teoría de la Medida: Un Primer Curso de Carlos S. Kubrusly de 2006 (después de la Definición 2.3, p.24).

Edit: Como se ha señalado por @se.yo.estoy en otro comentario (ahora suprimido), esto también se muestra en la Proposición 10.7 de Análisis Real: Teoría de la Medida e Integración de J. Yeh (2ª edición, 2006).