Explicación de un determinado límite directo

Question

Dado el sistema directo $$\mathbb{Z}^2 \xrightarrow{A} \mathbb{Z}^2 \xrightarrow{A}\mathbb{Z}^2 \xrightarrow{A}\cdots$$ with $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix},$$ the direct limit should be $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$.

Cómo se hace esto? Así, los autovalores de a $A$ $-1$ $2$ con vectores propios $(-1,2)^T$ $(1,1)^T$ respectivamente. Lo mejor que puedo hacer ahora es mostrar que el límite contiene un subgrupo isomorfo a $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$...

La razón por la que estoy preguntando es porque mediante la sustitución de $A$ por encima de con $A' = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$, aunque $A'$ tiene los autovalores $-2$$3$, directa el límite en este caso no puede ser la suma directa de $\mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$$\mathbb{Z}[\frac{1}{3}]$.

Answer 1

Sugerencia: El límite directo de este sistema es isomorfo al límite directo de $ \Bbb Z ^ 2\xrightarrow {S} \Bbb Z ^ 2\xrightarrow {S} \Bbb Z ^ 2\xrightarrow {S} \dotsb $$ $S$ Dónde está la forma normal de Smith de $A$. En este caso, la forma de Smith de $A$ es $$ S =\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 2 \end{pmatrix} $ y tenemos $UAV=S$ donde\begin{align} U &=\begin{pmatrix}1&0\ 2&-1\end{pmatrix} & V & =\begin{pmatrix}1 & -1\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{align}