¿Qué infinito es mayor que el continuo? Mostrar con un ejemplo

Question

El argumento diagonal establece que el continuo es mayor que el infinito contable. ¿Cuál es un ejemplo del próximo infinito (o cualquier otro infinito mayor) y cómo se puede demostrar que no hay correspondencia 1: 1 con el continuo?

Answer 1

El mismo tipo de argumento de diagonalización que se usa para mostrar$|\mathbb{R}| > |\mathbb{Z}|$ puede usarse para mostrar que para cualquier conjunto$X$ el conjunto de potencias de$X$ tiene una cardinalidad estrictamente mayor que$X$. Por lo tanto, si desea un conjunto de cardinalidad mayor que$\mathbb{R}$ intente$\mathcal{P}(\mathbb{R}).$

Answer 2

Puesto que usted no está satisfecho con el juego de poder ser la más natural de ejemplo, aquí es un poco menos natural, pero sigue siendo muy común (especialmente en ausencia de elección):

Considerar todos los números ordinales que existe una función inyectiva de ellos en $\mathbb R$, es decir,$A = \{\alpha\mid\alpha\text{ is an ordinal, and }\exists f\colon\alpha\xrightarrow{1-1}\mathbb R\}$.

Pretendemos que $A$ no puede ser bijected con $\mathbb R$.

En primer lugar, un conjunto de ordinales que es hacia abajo-cerrado (es decir, si $\alpha\in A$$\beta<\alpha$,$\beta\in A$) es un ordinal. No es una simple prueba de este hecho, simplemente porque un conjunto $x$ es un ordinal si y sólo si es transitivo y bien ordenado por $\in$.

De esto tenemos que $A$ es un ordinal, porque si $\alpha\in A$$\beta<\alpha$, la misma función inyectiva de a $\alpha$ todavía es inyectiva de a $\beta$ cuando se limita a $\beta$ (recordemos que $\beta<\alpha$ si y sólo si $\beta\in\alpha$ si y sólo si $\beta\subsetneq\alpha$).

Supongamos que hay una función de $A$ en los reales, que es inyectiva, ya que $A$ es un ordinal tendríamos $A\in A$, en contradicción con el hecho de que un ordinal no puede ser miembro de sí misma (independientemente de si o no el axioma de fundación mantiene en el universo).

Alternativamente, se puede definir el $A$ menos ordinal que no puede ser inyectado en $\mathbb R$. Este ordinal existe, ya que las $\mathbb R$ es un conjunto, y de los ordinales formar una clase adecuada; tienen exactamente las mismas propiedades.

Esta construcción se llama Hartogs número.

Answer 3

Aquí se han formulado preguntas muy similares, pero me resulta más fácil simplemente responder de nuevo que buscar el precedente más cercano.

Un ejemplo de un conjunto de cardinalidad mayor que el continuo se da en$\S 2.2$ de estas notas . En$\S 2.4$ se muestra que hay más de un conjunto de cardinalidades de conjuntos incontables.

Answer 4

Si no te gusta el conjunto de energía, otro ejemplo es el conjunto de funciones$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$.