En primer lugar, voy a responder a su pregunta acerca de la igualdad de la cita de G&H; en el mientras tanto, podría suceder que yo también la respuesta a tus dos preguntas generales acerca de las corrientes.
La configuración es la siguiente: estamos considerando las corrientes en el espacio del producto $M\times M$ donde $M$ $n$- dimensiones complejas de múltiples; $\Delta$ es la diagonal, es decir,
$$\Delta=\{(x,x)\ :\ x\in M\}$$
y obviamente es isomorfo a $M$ (inútil aquí, sin embargo).
$T_\Delta$ es el actual de la integración a lo largo de la diagonal, de modo que, para cada formulario de prueba de $u\in\mathcal{D}^{2n}(M\times M)$ (suave compacto respaldado $2n$-formas),
$$T_\Delta(u)=\int_\Delta u\;.$$
Empleando la descomposición en bidegrees, podemos definir a la $T^0_\Delta$ como el componente de $T_\Delta$ que actúa sólo en las formas de bidegree $(n,n-*)-(0,*)$, es decir, el componente de bidimension (bitype en la terminología de G&H) $(0,*)-(n,n-*)$.
Ahora, $T_\Delta^0$ es una corriente, pero no está representado por la integración en contra de una forma suave, como el que se define (es representada por la integración en contra de un formulario con la medida de los coeficientes, pero no vamos a entrar en detalles).
Por medio de la Bochner-Martinelli fórmula, podemos definir localmente (alrededor de puntos fijos $\{p_\alpha\}$ $\alpha$ en algunas conjunto de índices) corrientes de tamaño compacto (contenida en las bolas de radio $2\epsilon$ alrededor de los puntos) $k_\alpha=\rho_\alpha k_{BM}$ tal que $\overline{\partial}k_\alpha=T_\Delta^0$ en una bola de centro $(p_\alpha,p_\alpha)$ y radio de $\epsilon$.
Esto significa que, para cada $u\in\mathcal{D}^{2n}(B_\epsilon(p_\alpha,p_\alpha))$,
$$T_{\Delta}^0(u)=\overline{\partial}k(u)$$
(lo que significa que nos tomamos el $\overline{\partial}$ $k$ como actual y la aplicamos - que es de nuevo una corriente a la forma $u$).
Ahora, la definición de $k=\sum_\alpha k_\alpha$, se puede obtener una definidos a nivel global actual en $M\times M$.
Por la inspección, se observa que el $k$ está dado por la integración en contra de una forma que es suave en $M\times M\setminus\Delta$, es decir no existe $\omega_{BM}\in\Omega^{2n+1}(M\times M\setminus \Delta)$ tal que
$$k(u)=\int_{M\times M}\omega_{BM}\wedge u$$
(esto implica que $\omega_{BM}$ tiene localmente integrable coeficientes de $M\times M$, lo cual es cierto y se puede comprobar observando el orden de la "pole" a lo largo de $\Delta$).
Por lo tanto, fuera de $\Delta$, también se $\overline{\partial} k$ es representado por la integración en contra de alguna forma $\eta\in\Omega^{2n}(M\times M\setminus \Delta)$. Las palabras "fuera de $\Delta$" son muy importantes aquí: no podemos decir que hay un $\eta$, de modo que
$$\overline{\partial}k(v)=\int_{M\times M}\eta\wedge v$$
para cada $v\in\mathcal{D}^{2n}(M\times M)$!! No sabemos lo que sucede a lo largo de $\Delta$.
Podemos decir, tho
$$\overline{\partial}k(v)=\int_{M\times M}\eta\wedge v$$
para cada $v\in\mathcal{D}^{2n}(M\times M\setminus\Delta)$, es decir, de las formas compactas de apoyo fuera de $\Delta$.
Sin embargo, una inspección más cercana de $k_{BM}$, revela que su $\overline{\partial}$ se desvanece fuera de la diagonal, por lo que la única parte que sobrevive es dado por $\overline{\partial}\rho_\alpha\wedge k_{BM}$, en tanto que es integrable en todo $M\times M$, los "polos" a lo largo de la diagonal de ser el mismo. Por lo tanto,
$$v\mapsto\int_{M\times M}\eta\wedge v$$
es un lugar bien definido actual $T_\eta$$v\in\mathcal{D}^{2n}(M\times M)$. Pero, de nuevo, no coincide con $\overline{\partial} k$! Tenemos
$$\overline{\partial} k= T_\eta+R$$
donde $R$ es una corriente, de la que sólo sabemos que es localmente finita la masa y la apoyó en la diagonal.
Así que, resumiendo, podemos definir la corriente
$$\phi=T_{\Delta}^0-\overline{\partial}k\;.$$
Ahora, vamos a $u$ $2n$- forma con soporte compacto en $B_\epsilon(p_\alpha,p_\alpha)$; en una bola, hemos organizado las cosas para que las $T_{\Delta}^0=\overline{\partial} k=\overline{\partial} k_\alpha$ (la última igualdad teniendo sólo en que la pelota, no en todo el espacio). Entonces tenemos
$$\phi(u)=T_\Delta^0(u)-\overline{\partial}k (u)=0$$
como $u$ tiene apoyo en $B_\epsilon(p_\alpha,p_\alpha)$.
En términos de$\eta$$R$, vemos que
$$0=T_{\Delta}^0(u)-T_\eta(u)-R(u)$$
La primera y la última actuales son compatibles en $\Delta$, de manera que las contribuciones fuera de $\Delta$ todos vienen de la $T_\eta$; esto significa que el apoyo de $T_\eta$ no se cruzan $B_\epsilon$. Que es
$$T_\eta(u)=0$$
para cada $u$ $2n$- forma con soporte compacto en $B_\epsilon(p_\alpha,p_\alpha)$. I. e.
$$\int_{B_\epsilon}\eta\wedge u=0$$
para cada $u$, que fácilmente se supone que $\eta\vert_{B_\epsilon}=0$: tome $\tau_n$ a una función con valores en $[0,1]$, $1$ dentro de una bola de radio $\epsilon-\epsilon/n$ y apoyado en $B_\epsilon$. Dominado por la convergencia
$$0=\int_{B_\epsilon}\eta\wedge (\tau_n \eta^*)\to\int_{B_\epsilon}\eta\wedge \eta^*=\|\eta\|_{L^2(B_\epsilon)}^2$$
que luego tiene que ser cero, por lo $\eta\vert_{B_\epsilon}=0$.
Ahora, $\phi$ está representado por una suave forma (como G&H dice), al menos en
$$U=(M\times M\setminus\Delta)\cup\bigcup_{\alpha} B_{\epsilon}(p_\alpha,p_\alpha)$$
y una suave forma es nuestra $\eta$: dado $u\in\mathcal{D}^{2n}(U)$, podemos escribir
$$u=\sum_{\alpha}\sigma_\alpha u + \left(u-\sum_\alpha \sigma_\alpha u\right)=\sum u_\alpha + u'$$
para el adecuado $\sigma_\alpha$, de modo que $u_\alpha$ es compatible en $B_\epsilon$ $u'$ $0$ (un barrio de) $\Delta$. Así
$$\phi(u)=T_\Delta^0(u)-T_\eta(u)-R(u)=T_\Delta^0(u')-T_\eta(u')-R(u')=-T_\eta(u')=-T_\eta(u)$$
debido a $u'$ admite que no cumple $\Delta$ donde $T_\Delta^0$ $R$ vivir.
De nuevo, esto implica que la forma en que representa a $\phi$ (que vamos a denotar por $\psi$, por lo que el $\phi=T_\psi$) y el formulario que representa a $-T_\eta$ ( $-\eta$ ) coinciden en $U$.
Ahora, como $\Gamma_f$ $2n$- dimensiones submanifold de $U$, tenemos
$$\int_{\Gamma_f}\psi=-\int_{\Gamma_f}\eta$$
pero como $\eta$ se desvanece en todas las $B_\epsilon$, este es el mismo como
$$-\int_{\Gamma_f\setminus\bigcup B_\epsilon}\eta\;.$$
Lo siento si he cambiado la notación un poco, pero quería mantener las corrientes y formas tanto separados como sea posible, porque usted dijo que era su interacción que confundido.
