Tengo la siguiente conjetura: \begin{equation} \text{Re}\left[(1+\text{i}y)\arctan\left(\frac{t}{1+\text{i}y}\right)\right] \ge \arctan(t), \qquad \forall y,t\ge0. \end {equation}
Lo que parece ser cierto numéricamente. ¿Alguien puede ofrecer algún consejo sobre cómo enfocar esto para probar (o refutar) esto?
Se origina a partir de una pregunta que involucra la transformada (compleja) de Hilbert de una distribución de probabilidad no creciente simétrica: \begin{equation} h(y) = (1+\text{i}y)\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1 + \text{i}(y-t)}\text{d}G(t) \end {equation} y el intento de mostrar$\text{Re}[h(y)]$ toma su mínimo en$y=0$.
