¿Propiedades de los números primos?

Question

Considere el siguiente ejercicio:

Deje $P_1$ ser el conjunto de todos los números primos, $\{2,3,5,7,\cdots\}$, y para cada entero $n$, vamos a $P_n$ ser el conjunto de todos los primos múltiplos de $n$, $\{2n,3n,5n,7n,\cdots\}$. Cuál de las siguientes intersecciones es no vacío?

Un $P_{1}\cap P_{23}$
B $P_{7}\cap P_{21}$
C $P_{12}\cap P_{20}$
D $P_{20}\cap P_{24}$
E $P_{5}\cap P_{25}$

Aquí están mis preguntas:

• Cuando se entero $m$ $n$ tal que $P_m\cap P_n\neq\emptyset $?

• Hay otros métodos para resolver la cuestión en el ejercicio, excepto la de "ensayo y error"?

Answer 1

Alguna sugerencia:

Supongamos que $x\in P_m\cap P_n$ que significa que hay dos números primos $p,q$, que $x=pm=qn$.

• Si $p=q$ entonces claramente $m=n$.
• $p\mid qn$ % Por lo tanto, $p\mid n$y sólo así $q\mid m$. ¿Cuándo sucede eso?

Answer 2

% Toque $\rm\ k\in P_m\cap P_n\iff k = p\:m = q\:n\ \Rightarrow\ m,\:n\ $tienen el mismo número de factores primeros - lo cual es cierto sólo una de las opciones.

La pregunta general se responde fácilmente cualquier $\rm\:P_1\:$ cuyos elementos son pares coprimos, es decir $\rm\ p\:m = q\:n \ \iff\ n/m = p/q\:,\ $ $\rm\:P_m\cap P_n \neq \emptyset\ \iff$ la forma reducida de $\rm\:n/m\:$ tiene numerador y denominador en $\rm\:P_1\:$ (cancelación no es posible debido a la hipótesis de coprimality). Por ejemplo uno podría tomar $\rm\:P_1\:$ que la secuencia de números Fibonacci primer indexadas.