Entiendo que preguntas similares a esta han sido frecuentes aquí (1) y aquí (2) pero creo que mi pregunta es diferente, porque con respecto a (1) yo no estoy preguntando sobre el conjunto de $X$ que contiene los puntos de mi secuencia y con respecto a (2) porque tengo las distintas definiciones de límite y punto límite en mente. Que dijo:
Mi Pregunta: Mi libro de texto, las Ideas Fundamentales de Análisis de Michael Reed, define un punto límite como:
Definición: Dejar $(a_n)$ ser una secuencia de números reales. Un número $d$ es llamado un punto límite si, dada $\epsilon > 0$ y un entero $N$ existe $\color{red}{\mathrm{ an }} \ n \ge N$, de modo que $|a_n - d| \le \epsilon$.
La definición de un límite es la siguiente:
Definición: se dice que una secuencia $(a_n)$ converge a un límite de $a$ si, para cada $\epsilon \ge 0$, no es un número entero $N(\epsilon)$, de modo que $|a_n - a| \le \epsilon \color{red}{\text{ for all }} n \ge N$.
A partir de estas definiciones, y a partir de esta pregunta:
Si una secuencia converge tiene exactamente un punto límite. Es a la inversa verdad? Si no, proporcione un contraejemplo
Puedo concluir que lo contrario es cierto, simplemente apelando a las definiciones, o necesito de una manera más rigurosa prueba. Y si lo hago, estoy un poco atascado en la forma de perfeccionar esta prueba.
