¿Contradicción entre Taylor ' Teorema de s y características de la serie de Taylor de $f(x)=e^{-1/x^2}$?

Question

A mí me parece que hay una contradicción entre la del teorema de Taylor y las propiedades de la serie de Taylor de la función $f(x)=e^{-1/x^2}$ si $x\ne0$ $f(x)=0$ si $x=0$.

Por un lado, con la por encima de la extensión de $f$ $C^\infty$ $x=0$ y la serie de Taylor $TS[f]_0(x)$ $f(x)$ $x=0$ es idénticamente nulo con un radio de convergencia $R_c=\infty$, mientras que el $f(x)\ne 0$$x \ne 0$. Como consecuencia, $TS[f]_0(x)\ne f(x)$, $\forall x\ne0$.

Por otro lado, Taylor teorema establece que una expansión en la orden de $n$ le da: $f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+...+\frac{f^{(n)}}{n!}x^n+h_n(x)x^n, \qquad$ $\lim_{x\rightarrow0}h_n(x)=0$

Así que esto significa que debemos obtener mejores aproximaciones de $f(x)$ al $n$ aumenta. Que no es el caso en este ejemplo en particular como el aumento de $n$ no hacer una diferencia en la expansión polinomial.

Ahora, ¿cuál es el problema aquí? Es que no podemos aplicar Taylor teorema en este caso en particular, y si es así, ¿por qué? O es que está mal para expresar el resto como $h_n(x)x^n$$\lim_{x\rightarrow0}h_n(x)=0$?

O bien, ¿qué propiedades especiales, podría tener las funciones de $h_n(x)$ que no lo hace a $h_n(x)x^n$ a ser menor cuando $n$ aumenta?

O me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Usted parece estar confundido acerca de cuál es el teorema de citar, dice.

Tome $h_n(x) = f(x) x^{-n}= \begin{cases} 0 &\text{ if} x=0 \\ \frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^n} &\text{ otherwise.} \end{cases}$

Se satisface $\lim_{x\to 0} h_n(x) = 0$, y todas las propiedades prometido por el teorema. No hay ninguna contradicción.

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Pero es absolutamente inútil para aproximar $f$ más y más finamente por una secuencia de polinomios que forman las sumas parciales de una potencia de la serie, " $n$ crece." El punto es exactamente eso: $f$ no puede ser bien aproximada por una familia de polinomios en torno a $0$. Tratando de hacerlo, no importa qué grado $n$ usted elija, usted puede obtener un cero del polinomio, y el resto/error es... bueno, $f$.

Answer 2

Taylor teorema es perfectamente cierto, incluso en este caso. Simplemente, el valor de la función es totalmente en su complementario plazo. Este es un caso donde la Taylor de la serie ¿ no convergen al valor de la función.

$\mathcal C^\infty$ funciones con un Taylor series que convergen para el valor de una función se llama analítica de funciones.

Así que usted vea funciones analíticas y $\mathcal C^\infty$ *funciones son diferentes nociones, para funciones de una variable real.

Para funciones de una variable compleja, la situación es muy diferente: una función es diferenciable es ipso facto $\mathcal C^\infty$ y analítica.

Answer 3

Yo estaría de acuerdo en que Taylor teorema tiene una débil indicación de que las aproximaciones deben estar mejorando. En particular, podemos reformular el teorema de la siguiente manera:

Deje $f_n$ el valor del $n$th-orden de aproximación de $f$. A continuación, el error $e_n(x) = f(x) - f_n(x)$ satisface $$ \lim_{x \to 0} \frac{e_n(x)}{x^n} = 0 $$ es decir, que la $e_n(x) \to 0$ más rápido que el de $x^n$ ($e(x) = o(x^n)$).

De una manera más "típico" de Taylor aproximación, este patrón podría indicar una mejora de $e_n$$n \to \infty$, es decir, que la $e_n$ se aproxima a cero cada vez más rápido y de que $e_n(x) \to 0$$n \to \infty$. Podemos ver esto con la serie de Taylor para $f(x) = e^x$, por ejemplo.

Sin embargo, tenga en cuenta que el teorema de la realidad no implica que este sea el caso. Para nuestro problema, siempre tendremos $$ e_n(x) = f(x) $$ y sucede que la $f(x) \to 0$ más rápido que el de $x^n$ cualquier $n$.