Múltiplos complejos y métricas hermitianas

Question

He estado tratando de aprender un poco de geometría compleja, y estaba recibiendo confundido al pensar en la métrica hermitiana. En este post, he escrito mi comprensión actual, con la esperanza de que alguien puede mirar que y verificar / aclarar donde he ido bien / mal. $\newcommand{\pp}[1]{\frac{\partial}{\partial #1}}$ Empezaré con definiciones, para fijar la notación y para practicar.

Sea $M$ sea una variedad compleja de dimensión $n$ y fijemos un punto $p \in M$ . En torno a $p$ podemos encontrar un gráfico de coordenadas holomórficas: un conjunto abierto $U \subset M$ y coordenadas holomorfas $z_1, \dots, z_n : M \to \mathbb{C}$ . Si $x_j, y_j$ son las partes real e imaginaria de $z_j$ entonces $x_1, y_1, \dots, x_n, y_n : U \to \mathbb{R}$ danos un gráfico de coordenadas suave. Así que $M$ es también una variedad diferenciable de dimensión real $2n$ por lo que podemos definir un espacio tangente $T_p M$ en de la forma habitual como un espacio vectorial real de dimensión $2n$ una base para $T_p M$ viene dada por $\pp{x_1}, \pp{y_1}, \dots, \pp{x_n}, \pp{y_n}$ .

Ahora $T_p M$ conlleva una estructura natural casi compleja; a saber, el mapa lineal $J$ definido por $J \pp{x_j} = \pp{y_j}$ y $J \pp{y_j} = -\pp{x_j}$ . Si la variedad diferenciable $M$ lleva un Riemannian métrica $g$ de modo que $g_p : T_p M \times T_p M \to \mathbb{R}$ es un forma bilineal simétrica definida positiva, entonces decimos que esta métrica es Hermitiana si respeta la estructura casi compleja: $g_p(J v, J w) = g_p(v,w)$ (y lo mismo vale para cualquier otro punto $p$ ). Así que ¿Todo bien?

También podemos considerar el espacio tangente acomplejado $T_p M \otimes \mathbb{C}$ que es un espacio vectorial complejo de dimensión compleja $2n$ . Según tengo entendido, normalmente ampliamos $g_p$ a $T_p M \otimes \mathbb{C}$ por bilinealidad en particular, para $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$ tenemos $g_p(\alpha v, \beta w) = \alpha \beta g_p(v,w)$ . Así que $g_p$ es ahora un bilineal forma simétrica en $T_p M \otimes \mathbb{C}$ .

En particular, $g_p : (T_p M \otimes \mathbb{C})^2 \to \mathbb{C}$ ya no es positiva definida: en efecto, $$g_p\left(\pp{x_i} - i \pp{y_j}, \pp{x_i} - i \pp{y_j}\right) = 0.$$

Esto me confundió durante un tiempo, porque la noción más habitual de un interior en un espacio vectorial complejo es un producto definido positivo. sesquilínea forma simétrica: es decir, $\langle \alpha v, \beta w \rangle = \alpha \bar{\beta} \langle v,w \rangle$ . De hecho, la palabra "hermitiana" se utiliza a menudo para describir tal forma. Así que yo preguntaría ingenuamente: ¿Por qué es mejor tomar $g_p$ sea bilineal en $T_p M \otimes \mathbb{C}$ en lugar de sesquilíneo? Si en su lugar tomáramos la extensión sesquilineal, ¿podría una teoría razonable, o pasaría algo malo?

Creo que parte de la razón por la que estaba confundido es que $T_p M \otimes \mathbb{C}$ considerado como un espacio vectorial real de dimensión $4n$ (con base $\left\{ \pp{x_j}, i \pp{x_j}, \pp{y_j}, i \pp{y_j} \right\}$ ) en realidad lleva dos estructuras distintas casi complejas. La primera es la obvia: la multiplicación por $i$ , enviando $\pp{x_j}$ a $i \pp{x_j}$ etc. La otra es la extensión lineal compleja de $J$ que envía $\pp{x_j}$ a $\pp{y_j}$ , envía $i \pp{x_j}$ a $i \pp{y_j}$ etc. Y el punto es que tomamos nuestra extensión de $g_p$ sea hermitiana con respecto a la segunda, no con respecto a la primera.

¿He entendido todo esto correctamente?

Answer 1

Permítame intentar aclarar el punto que le preocupa. Creo que lo mejor es verlo desde la perspectiva más sencilla: el álgebra lineal, porque todo se reduce a álgebra lineal.

Ésta es nuestra situación: tenemos un espacio vectorial real $V$ con una estructura compleja lineal $J : V \to V$ .

Definición 1. Un producto interior $g$ en $V$ se dice compatible con la estructura compleja lineal $J$ si $J$ es ortogonal con respecto a $g$ ( es decir $g(Jx,Jy) = g(x,y)$ para todos $x,y \in V)$ .

Nótese que esto es lo que se llama un producto interno hermitiano, pero prefiero evitar esta terminología en aras de la claridad. En su lugar:

Definición 2. A Producto interior hermitiano en $(V,J)$ es un mapa bilineal real $h : V \times V \to \mathbb{C}$ que es sesquilínea en el sentido de que $h(Jx, y) = -h(x, Jy) = ih(x,y)$ para todos $x,y \in V$ y hermitiana-simétrica en el sentido de que $h(y,x) = \overline{h(x,y)}$ para todos $x, y \in V$ .

Ahora bien, la cuestión es que estas dos nociones son esencialmente la misma:

Proposición. Si $h$ es un producto interno hermitiano sobre $(V,J)$ entonces $g := \operatorname{Re}(h)$ es un producto interno compatible en $(V,J)$ . Por el contrario, es $g$ es un producto interno compatible en $(V,J)$ entonces existe un único producto interno hermitiano $h$ en $(V,J)$ tal que $g = \operatorname{Re}(h)$ .

Como puede ver, esto no tiene absolutamente nada que ver con la complejización de $V$ . Es cierto que $g$ se extiende a un mapa bilineal complejo simétrico $g^\mathbb{C} : V^\mathbb{C} \to V^\mathbb{C}$ donde $V^\mathbb{C} = V \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}$ , pero es un tema diferente (y no tiene nada que ver con la compleja estructura $J$ ).

Answer 2

Supongo que el punto principal de pasar a complejificaciones es deshacerse de las propiedades de linealidad conjugada y tener todo complejo (multi)-lineal. La cuestión principal que falta en tu descripción de toda la situación es la descomposición del haz tangente complesificado en una parte holomorfa y otra antiholomorfa. (De hecho, uno ni siquiera necesitaría hacer esto en el entorno de los múltiples, es un puro artilugio de álgebra lineal, pero me quedaré en el entorno de los múltiples).

Ha observado correctamente que $T_pM\otimes\mathbb C$ lleva dos estructuras distintas casi complejas, a saber, la que procede de $J_p$ y la procedente de la multiplicación por $i$ en el segundo factor. Pero esto da lugar a una descomposición $T_pM\otimes\mathbb C=T^{1,0}_pM\oplus T^{0,1}_pM$ siendo los sumandos los subespacios complejos en los que las dos estructuras coinciden respectivamente son negativas la una de la otra (y ambos espacios tienen dimensión compleja $n$ ). a partir de las bases constituidas por $\tfrac{\partial}{\partial x_i}$ y $\tfrac{\partial}{\partial y_j}$ que mencionas, se puede construir una base compleja $\{\tfrac{\partial}{\partial z_i}\}$ para $T^{1,0}_pM$ (el "espacio tangente holomorfo") y una base compleja $\{\tfrac{\partial}{\partial\bar z_i}\}$ para $T^{0,1}_pM$ (el "espacio tangente antiholomorfo"). Ahora bien, el hecho de que una métrica sobre $g$ en $T_pM$ es hermitiana equivale a que su extensión bilineal compleja al espacio tangente complexificado desaparece en $T^{1,0}_pM\times T^{1,0}_pM$ y en $T^{0,1}_pM\times T^{0,1}_pM$ por lo que en realidad define un paring $T^{1,0}_pM\times T^{0,1}_pM\to\mathbb C$ .

Toda esta técnica resulta más familiar en el ámbito de las formas diferenciales. Aquí se consideran primero los mapas lineales reales $T_pM\to\mathbb C$ que pueden identificarse canónicamente con mapas lineales complejos $T_pM\otimes\mathbb C\to\mathbb C$ y dicho mapa es lineal complejo (con respecto a $J_p$ ) si y sólo si se restringe a cero en $T^{0,1}$ y lineal conjugada si y sólo si se restringe a cero en $T^{0,1}$ . Esto puede verse como una descomposición del espacio cotangente complejizado y la descomposición inducida de potencias exteriores da la descomposición de formas diferenciales sobre una variedad casi compleja en $(p,q)$ -tipos.

Así que, como dije al principio, la cuestión es llegar a un entorno en el que sólo se trate con mapas multilineales complejos, pero que tenga la posibilidad de codificar propiedades de linealidad y linealidad conjugada de objetos subyacentes o análogos naturales de tales propiedades como la desaparición en ciertos subespacios.