¿Cómo cuantificar la diferencia entre$2$ elipsis?

Question

En mi investigación me intente identificar los parámetros que definen a una ecuación del elipsoide. Tengo 3 incógnitas y mi elipse está siempre centrada en el origen, pero la rotación varía (ver figura adjunta).

Me gustaría tener algún método para la cuantificación de lo bueno que mi identificación fue saber que los parámetros de referencia.

Inicialmente pensé Coeficiente de Determinación, pero no estoy seguro de si es aplicable a ese problema. Los valores que obtengo son muy cercanos a 1 (la elipse se muestra en la figura tiene R2 = 0.990) así que no estoy muy seguro de si esta herramienta es confiable para distinguir entre los distintos conjuntos de parámetros.

Otra idea fue comparar las áreas de cada elipse, pero aquí el problema radica en la rotación del área que se conservan a través de la rotación, pero claramente dos girado puntos suspensivos no son el mismo. El área entre los puntos suspensivos es otra idea, pero aquí estoy luchando con límites de integración.

Alguna sugerencia de cómo de forma fiable podría cuantificar la precisión de los parámetros?

EDITAR: Mi modelo es basado en 3 parámetros: $\sigma_{11}^{y}, \sigma_{22}^{y}, \sigma_{33}^{y}$ Y la curva (en $\sigma_{11} - \sigma_{22}$ espacio) I construcción es como sigue:

$\left(\frac{\sigma_{11}^{y}}{\sigma_{11}^{y}}\right)^{2} \sigma^{2}_{11} -\left[\left(\frac{\sigma_{11}^{y}}{\sigma_{11}^{y}}\right)^{2} +\left(\frac{\sigma_{11}^{y}}{\sigma_{22}^{y}}\right)^{2}-\left(\frac{\sigma_{11}^{y}}{\sigma_{33}^{y}}\right)^{2}\right] \sigma_{11} \sigma_{22} + \left(\frac{\sigma_{11}^{y}}{\sigma_{22}^{y}}\right)^{2} \sigma^{2}_{22} - \left(\sigma_{11}^{y}\right)^{2} = 0$

Answer 1

Como mencioné en el comentario, una forma de medir la diferencia es integrar (en coordenadas polares, por ejemplo, con el origen coincide con el centro de ambas elipses) el valor absoluto de la diferencia de en qué medida cada punto se encuentra lejos del centro.

En otras palabras, si tenemos en cuenta $f(\theta)$ a la distancia de una elipse desde el origen en el ángulo de $\theta$, e $g(\theta)$ - de los otros, necesitamos $$ D_{f,g} = \int_0^{2\pi} \left\|f(\theta) - g(\theta)\right\| \mathrm{d}\theta, $$ donde la norma podría ser $2$-norma o $1$-norma o de cualquier otro conveniente norma.

Answer 2

Si la rotación fue el único parámetro que varía, entonces la única cosa que haría cambios en su ecuación dada es el coeficiente de la $\sigma_{11}\sigma_{22}$plazo, por lo tanto, usted puede comparar qué tan cerca están comparando ese coeficiente. Sin embargo, usted también tiene que el coeficiente de $\sigma_{22}^2$ puede cambiar, así como el término constante (que es $-(\sigma_{11}^y)^2$). Tenga en cuenta que el coeficiente de la $\sigma_{11}^2$plazo siempre es $1$.

Si llamamos a $x=\sigma_{11}$, e $y=\sigma_{22}$, entonces su ecuación tiene la forma general:

$x^2+Bxy+Cy^2+F=0$

Donde

$B=-\left[\left(\frac{\sigma_{11}^{y}}{\sigma_{11}^{y}}\right)^{2} +\left(\frac{\sigma_{11}^{y}}{\sigma_{22}^{y}}\right)^{2}-\left(\frac{\sigma_{11}^{y}}{\sigma_{33}^{y}}\right)^{2}\right]$

$C=\left(\frac{\sigma_{11}^{y}}{\sigma_{22}^{y}}\right)^{2}$

y

$F=- \left(\sigma_{11}^{y}\right)^{2}$

$B$ controles de rotación, $C$ la relación de la longitud entre el mayor y el eje menor ($C>0$ a causa de la plaza que aparece en el lado derecho de arriba, y distinto de cero debido a que $\sigma_{11}$ debe ser distinto de cero otra cosa que el resultado no es una elipse), finalmente, $F$ controla el tamaño de la elipse (para ver por qué, considere la posibilidad de $x=0$, entonces la ecuación anterior se convierte en $Cy^2-F=0$)

La única pregunta ahora es: ¿Cómo es exactamente lo que quiere "poner un número' para el error. O en otras palabras, ¿cómo va a medir el error