Valor exacto

Question

Buenos días! Estoy teniendo problemas con este problema... Es sólo tomar de mí para siempre y estoy agotado y estoy perdido sobre cómo utilizar un doble ángulo de identidad para $72=2⋅36$

El problema se lee como sigue

Un valor exacto para $\cos36°$ se puede encontrar utilizando el siguiente procedimiento. Comenzar por examinar $\sin108°$. Tenga en cuenta que $108=72+36$ y utilizar el seno de la suma de la identidad. También tenga en cuenta que $72=2⋅36$ y el uso de doble ángulo de identidades. Si hay factores comunes en cada plazo, el factor y cancelarlos si no son iguales a cero. Debe, finalmente, obtener una ecuación cuadrática que contengan $\cos36°$. Usar la fórmula cuadrática para obtener el valor exacto para $\cos36°$. (Tenga en cuenta que la fórmula cuadrática debe dar dos soluciones. Uno puede ser ignorada - ¿por qué?

Gracias de antemano a cualquiera que pueda ayudar.

Answer 1

\begin{align} \sin 108^\circ&=\sin (72^\circ+36^\circ)\ \sin(180^\circ-72^\circ)&=\sin 72^\circ\cos36^\circ+\cos 72^\circ\sin36^\circ\ \sin72^\circ&=\sin (2\cdot36^\circ)\cos36^\circ+\cos (2\cdot36^\circ)\sin36^\circ\ \sin (2\cdot36^\circ)&=2\sin36^\circ\cos36^\circ\cos36^\circ+(2\cos^236^\circ-1)\sin36^\circ\ 2\sin36^\circ\cos36^\circ&=\sin36^\circ(2\cos^236^\circ+2\cos^236^\circ-1)\ 2\cos36^\circ&=4\cos^236^\circ-1\ 4\cos^236^\circ-2\cos36^\circ-1&=0\tag1 \end {Alinee el} no $y=\cos36^\circ$, $(1)$ se convierte en $$ 4y ^ 2-2y - 1 = 0\tag2 $$ utilice completa cuadrados el método o la fórmula cuadrática para obtener las raíces de $(2)$ y tomar el valor positivo sólo porque $\cos36^\circ>0$ ya que se encuentra en el primer cuadrante.

Answer 2

Sugerencia: Tenemos $$\sin(108^\circ)=\sin(72^\circ)=2\sin(36^\circ)\cos(36^\circ). \tag{1}$ $, $$\sin(108^\circ)=\sin(36^\circ +72^\circ)=\sin(36^\circ)\cos(72^\circ)+\cos(36^\circ)\sin(72^\circ). \tag{2}$ $

Como se sugiere en la OP, usar identidades de ángulo doble en el lado derecho de (2).

Answer 3

Impresionante prueba :

Este es un pentágono regular. Como cada ángulo es $108^\circ$, $\angle CAD=36^\circ$ de la simetría.

Triángulos $ABP$ $AEP$ son similares.

$\frac{BE}{AB}=\frac{AE}{EP}$

$BE×EP=AB^2$

$(BP+EP)×EP=AB^2$

$(AB+EP)×EP=AB^2$

Para la relación de $x=\frac{AB}{EP}$ tenemos la ecuación

$x+1=x^2$

con una solución positiva $x=\Phi$, el proporción áurea.

En $△AEP$, $AE=AB$ y $EP$ es uno de los lados, de manera que $\frac{AE}{EP}=\Phi$. Caída perpendicular de $P$ $AE$para obtener dos triángulos rectángulos. Entonces decir,

$cos(∠AEP)=(AE/2)/EP=(AE/EP)/2=ϕ/2$

Pero $∠AEP=36^\circ$ y obtenemos el resultado deseado.

Por lo tanto la respuesta es $$\frac{1+\sqrt 5}{4}$$

Answer 4

"Buena noches"

Utilice las siguientes identidades trigonométricas s (x) = s (180 - x)

s (x + y) = s (x) c (y) + s (y) c (x) y en particular s (2x) = 2s (x) c (x)

c (2x) =$c^2(x) - s^2(x)$

cuando te acerques al final, observa que$nc^2 - s^2 = (n+1)c^2 - 1$

Funciona muy fácilmente.

Para la parte final, tenga en cuenta el rango permitido de la función de coseno.

Answer 5

Usando las identidades$\sin 2t=2\sin t \cos t$,$\cos 2t=2\cos^t-1$ y$\sin t=\sin(180^{\circ}-t)$ \begin{align} \sin(108^{\circ}) & =\sin(72^{\circ})\cos(36^{\circ})+\cos(72^{\circ})\sin(36^{\circ}) \\ \sin(72^{\circ})& =2\sin(36^{\circ})\cos^2(36^{\circ})+[2\cos^2(36^{\circ})-1]\sin(36^{\circ}) \\ 2\sin(36^{\circ})\cos(36^{\circ})& =2\sin(36^{\circ})\cos^2(36^{\circ})+[2\cos^2(36^{\circ})-1]\sin(36^{\circ})\\ \end {align} Note$\sin (36^{\circ})\neq 0$, así podemos multiplicar por$\frac{1}{\sin 36^{\circ}}$, y obtenemos \begin{align} 2\cos(36^{\circ})& =2\cos^2(36^{\circ})+2\cos^2(36^{\circ})-1\\ 4\cos^2(36^{\circ})-2\cos(36^{\circ})-1&=0 \;\;\quad\color{blue}{\text{(1)}} \end {align} Usando la fórmula cuadrática obtenemos$\cos (36^{\circ})\in\{\frac{1+\sqrt{5}}{4},\frac{1-\sqrt{5}}{4}\}$. Como$\cos (36^{\circ})>0$ concluimos$\cos (36^{\circ})=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$.