El enunciado que debe probarse debe modificarse ligeramente como sigue.
Propuesta: Dejemos que $ \mathcal{A} $ sea un álgebra C* y $ (\mathcal{H},\pi) $ una representación * irreducible de $ \mathcal{A} $ . Entonces, o bien
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cada $ \xi \in \mathcal{H} \setminus \{ 0_{\mathcal{H}} \} $ es un vector cíclico, o
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$ \pi[\mathcal{A}] = \{ 0_{B(\mathcal{H})} \} $ y $ \mathcal{H} \cong \mathbb{C} $ .
Prueba
Si cada $ \xi \in \mathcal{H} \setminus \{ 0_{\mathcal{H}} \} $ ya es un vector cíclico, entonces no hay nada que mostrar.
Por lo tanto, supongamos que existe un $ \xi \in \mathcal{H} \setminus \{ 0_{\mathcal{H}} \} $ que no es un vector cíclico. Por definición, esto significa que $$ \mathcal{H}' ~ \stackrel{\text{def}}{=} ~ \overline{\{ [\pi(a)](\xi) ~|~ a \in \mathcal{A} \}}^{\| \cdot \|_{\mathcal{H}}} $$ es un subespacio lineal cerrado y propio de $ \mathcal{H} $ . Claramente, $ \mathcal{H}' $ es también un subespacio invariante de $ (\mathcal{H},\pi) $ . Como $ (\mathcal{H},\pi) $ es irreducible, tenemos $ \mathcal{H}' = \{ 0_{\mathcal{H}} \} $ lo que significa que $ [\pi(a)](\xi) = 0_{\mathcal{H}} $ para cada $ a \in \mathcal{A} $ . Se deduce que el subespacio lineal unidimensional $ \mathbb{C} \cdot \xi \subseteq \mathcal{H} $ es un subespacio invariante de $ (\mathcal{H},\pi) $ Para ver esto, basta con observar que \begin{align} \forall a \in \mathcal{A}: \quad [\pi(a)][\mathbb{C} \cdot \xi] &= \mathbb{C} \cdot [\pi(a)](\xi) \\ &= \mathbb{C} \cdot 0_{\mathcal{H}} \\ &= \{ 0_{\mathcal{H}} \} \\ &\subseteq \mathbb{C} \cdot \xi. \end{align} Por la irreductibilidad de $ (\mathcal{H},\pi) $ de nuevo, obtenemos así $$ \mathcal{H} = \mathbb{C} \cdot \xi \cong \mathbb{C}. $$ Por lo tanto, $ [\pi(a)][\mathcal{H}] = \{ 0_{\mathcal{H}} \} $ para cada $ a \in \mathcal{A} $ lo que da como resultado inmediato $$ \pi[\mathcal{A}] = \{ 0_{B(\mathcal{H})} \}. \quad \blacksquare $$
