Comprensión intuitiva de la matriz de una transformación lineal

Question

¿Es correcto decir que una matriz $M(T)$ del mapa lineal $T:V\to W$ codifica el mapa lineal en una serie de números mostrando cómo el mapa lineal aplicado a los vectores base de $V$ pueden expresarse como vectores base de $W$ ? ¿Es ésta una forma sana de imaginar e intuir la matriz de un mapa lineal?

Answer 1

Sí, esa es una buena manera de pensar en ello.

La matriz es como la información mínima que hay que escribir para especificar completamente la transformación lineal.

Answer 2

Aquí hay una versión un poco más desarrollada de lo que dices, desde mi punto de vista.

¿Qué significa tomar una base de un espacio vectorial de dimensión finita $V$ ? Significa que usted identifica cada vector $v \in V$ de forma única con una tupla $(v_{1},\ldots,v_{n})$ de componentes . Ahora, los mapas lineales trabajan directamente con su espacio vectorial. Consideremos el mapa lineal "girar en sentido contrario a las agujas del reloj por $\pi/2$ "en el plano. El mapa recoge una flecha (o como prefieras pensar en un vector) y la hace girar físicamente.

Por otro lado, podemos identificar el plano con $\mathbb{R}^{2}$ a través de la base estándar, y luego el matriz de rotación $$R=\left(\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)$$ le indica cómo cambiar el componentes de su vector. Si eliges una base diferente, tus componentes cambiarán de forma diferente. Precisamente, si cambias tu base con la matriz $P$ entonces su nueva matriz de transformación sería $$R'=P^{-1}RP$$

En resumen, los mapas lineales cambian su vectores , mientras que la multiplicación de matrices cambia su componentes .