Applonius Círculo/ Ford / Círculo Infinito GP / Círculo de Embalaje

Question

Todos los círculos pequeños son mutuamente tangentes y continuar hasta el infinito. ¿Cuál es la suma de los radios de todos los círculos más pequeños?

Answer 1

Esto es similar a la Vilano de la cadena en la arbelos y puede ser respondido con un círculo la inversión del mismo modo que el problema es analizado en Cortar El Nudo.

La inversión de la figura a través de un círculo centrado en $A$ a través de $C$ (discontinua roja) toma el semicírculos en $AB$ $AC$ a líneas paralelas perpendiculares a $AC$. Las imágenes de todos los círculos inscritos son tangentes a ambas líneas y así son todos congruentes.

Dado $AB=k, BC=1$, el radio de la inversión es $AC=k+1$. Por lo tanto la imagen de $B$ satisface $$AB\cdot AB' = AC^2 = (k+1)^2\\ AB' = \frac{(k+1)^2}{k}$$ y el común de la radio de la imagen de los círculos es $$r' = CM=\frac{AB'-AC}{2} = \frac{(k+1)^2-k(k+1)}{2k} = \frac{k+1}{2k}$$

Deje que los círculos inscritos tienen centros en $O_1,O_2,\ldots$ con radios $r_1,r_2,\ldots$, y sus imágenes tienen centros en $O_1', O_2',\ldots$ comunes de la radio de $r'$. A continuación, ya que todos los círculos son tangentes a lo largo de la línea de $MO_1'$ es inmediato que $MO_n' = (2n-1)r'$.

Tomar una tangente común a las $n$th círculo y su imagen de la reunión de ellos en $T_n$ $T_n'$ respectivamente. A continuación, $AT_nO_n$ es similar a $AT_n'O_n'$ y por lo tanto $$r_n = r' \frac{AT_n}{AT_n'}$$ pero $T_n$ $T_n'$ también son inversas y así satisfacer $$AT_n \cdot AT_n' = AC^2 = (k+1)^2$$ y por el teorema de Pitágoras $$(AT_n')^2 + (r')^2 = (AO_n')^2 = AM^2+(MO_n'^2) \\ (AT_n')^2 = -\left(\frac{k+1}{2k}\right)^2+\left(\frac{(k+1)(2k+1)}{2k}\right)^2+\left(\frac{(2n-1)(k+1)}{2k}\right)^ 2 \\ (AT_n')^2 = \frac{(k+1)^2}{4k^2}\left(-1+(2k+1)^2+(2n-1)^2\right)$$ y ponerlo todo junto $$\begin{align} r_n &= r' \frac{AT_n}{AT_n'} \\ &= \frac{k+1}{2k} \frac{(k+1)^2}{(AT_n')^2} \\ &= \frac{2k(k+1)}{4k(k+1)+(2n-1)^2} \end{align}$$

A continuación, con la ayuda de WolframAlpha la suma de los radios $$\begin{align} \sum_{n=1}^\infty r_n &= 2k(k+1) \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2+4k(k+1)} \\ &= 2k(k+1) \frac{\pi \tanh(\pi \sqrt{4k(k+1)}/2)}{4\sqrt{4k(k+1)}}\\ &= \frac{\pi}{4}\sqrt{k(k+1)} \tanh(\pi\sqrt{k(k+1)}) \end{align}$$

QED.

Deje $P_1$ ser el pie de la perpendicular de$O_1$$AC$. Como comprobación se puede observar que el semicírculo en la $AP_1$ que es la inversa de la ray $MO_1'$ (mostrar verde punteada en el diagrama) pasa por los puntos de tangencia entre los círculos inscritos y cerca de sus centros, por lo que es una aproximación (y límite inferior) por el doble de la suma de los radios.

Desde $AP_1O_1$ es similar a $AMO_1'$ $$AP_1 = AM\frac{r_1}{r'} = \frac{2k(k+1)}{2k+1}$$ y la mitad de la longitud de arco da el obligado $$\sum_{n=1}^\infty r_n > \frac{\pi AP_1}{4} = \frac{\pi k(k+1)}{4k+2}$$ por ejemplo, cuando se $k=50$ esta enlazado da $\sum r_n>39.6587\cdots$, mientras que el valor exacto de la expresión anterior es $\sum r_n=39.6606\cdots$.

Answer 2

Encontrar el radio de la primera círculo

Inicialmente, usted tiene el círculo exterior (de diámetro $k+1$), el derecho círculo interior (de diámetro $k$), y la línea horizontal. La colocación de mi origen en el punto de más a la derecha, se pueden formular las coordenadas en la Mentira de la esfera de la geometría de estos tres círculos.

$$\begin{align*} C_o &= \begin{pmatrix} k + 1 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\ k + 1 \end{pmatrix} & C_k &= \begin{pmatrix} k \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\ -k \end{pmatrix} & C_h &= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align*}$$

Ahora que usted está buscando a la primera rotonda a la izquierda, que es un círculo tangente a los tres objetos dados. Usted busca un objeto en la Mentira quadric que también ha de fuga interna de productos con estos tres vectores. La solución parece a esto, según mi sistema de álgebra computacional:

$$C=\begin{pmatrix} 8 \, k^{3} + 12 \, k^{2} + 4 \, k \\ 4 \, k^{2} + 4 \, k \\ 4 \, k^{4} + 8 \, k^{3} - 4 \, k - 1 \\ 4 \, k^{4} + 8 \, k^{3} + 8 \, k^{2} + 4 \, k + 1 \\ 4 \, k^{2} + 4 \, k \end{pmatrix}$$

El punto aquí es que usted puede cambiar la escala de este vector tal que $C_4-C_3=1$ y, a continuación, se puede leer en el radio de su primer círculo de la izquierda, desde la última coordinar $C_5$

$$r_1 = \frac{2\,(k^2 + k)}{4\,k^2 + 4\,k + 1}$$

Encontrar las otras radios

Ahora que tienen un primer radio, usted puede obtener otros el uso de Descartes teorema:

$$\frac1{r_{i+1}} = \frac1{r_i} + \frac2k - \frac2{k+1} \pm 2\sqrt{\frac2{r_i\,k} - \frac4{k\,(k+1)} - \frac2{r_i\,(k+1)}}$$

De las dos soluciones, te gustaría en el que añadir la raíz cuadrada, ya que conducirá a un menor resultado y, por tanto, el resultado en el derecho de la iteración de dirección. La otra solución sería iterar en la dirección opuesta.

La iteración

Por supuesto, lo anterior no digo que la solución para que la infinita suma de los radios que estaban preguntando acerca de. Pero debe dar un buen comienzo. Si alguien quiere actualizar esta respuesta con un adecuado cálculo de este, siéntase libre de hacerlo. O escriba su propia respuesta edificio en esto.

Hasta entonces, usted puede obtener resultados numéricos para un determinado $k$ utilizando el anterior, incluso sin un cerrado fórmula para la suma final. Por ejemplo, tengo las siguientes sumas usando iteración simple con 20.000 pasos para cada una de las $k$: