En la teoría de los números, es el primer número generalmente se definen para ser algún número natural o un número entero, es decir, debe ser positiva, o puede ser positivo o negativo?
Gracias y saludos!
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Hoy en día, la definición depende del contexto. Pero la definición que se aplica arbitraria de los anillos es generalmente a lo largo de las líneas de:
Un elemento distinto de cero $p$ de un anillo de $R$ es un primer si y sólo si $p$ no es una unidad, y siempre que $p|ab$, $p|a$ o $p|b$.
(A veces uno también permite a $0$, que es un número primo en $R$ si y sólo si $R$ no tiene "divisores de cero". En los enteros, permitiendo que tiene virtudes y desventajas, generalmente se refleja en las cláusulas de exclusión en los teoremas dependiendo de si admitir o no).
Si tomamos esta definición y aplicarlo a $\mathbb{Z}$, entonces los números negativos, tales como $-2$, $-7$, etc., son "primos." Esto lleva a algunas dificultades con el Teorema Fundamental de la Aritmética (y su generalización a Ufd), en que la factorización en números primos ya no es único: $4 = 2\times 2 = (-2)\times(-2)$.
Pero la divisibilidad también define una relación de equivalencia, "asociados": decimos que $a$ $b$ son asociados si y sólo si $a|b$$b|a$, que para los anillos como $\mathbb{Z}$ que son los dominios (sin divisores de cero, y una identidad multiplicativa) es equivalente a decir que hay una unidad de $u$ tal que $a=ub$. Así que asociar elementos principales con cada uno de los otros si se diferencian en una unidad, por lo que consideramos que tanto $2$ $-2$ a ser "esencialmente el mismo" a los efectos de la divisibilidad. El teorema fundamental de la aritmética dice que la factorización es única "hasta el fin y asociados" (por lo que puede reemplazar a algunos de los números primos por otros primos que son asociados, de ellos, tales como la sustitución de las $2$$-2$).
En estos días en la teoría de números.... si usted está conduciendo hacia la teoría algebraica de números, la definición de prime es probable que abarcan tanto los aspectos positivos y negativos de las versiones, pues facilita el paso a cosas como los números primos en $\mathbb{Z}[i]$, y la consideración de primer ideales más tarde. Pero en muy elemental, a partir de la teoría de números, cuando se trata de lidiar sólo con números naturales, es probable que se adhieren a la definición de número natural.
Porque en cualquier ring $a|b$ si y sólo si para cualquier unidades$u$$v$$ua|vb$, y debido a que la propiedad de ser un número primo que tiene que ver con la divisibilidad, que, en general, no importa si son restrictivas o no (a condición de que, si permite a los números negativos como los números primos, añadir un " hasta a los asociados de la cláusula siempre que sea necesario).
Xenph Yan
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Estas 3 respuestas cubrir casi todo. Estoy de acuerdo con todos ellos, pero sobre todo con la #3.
