Algunas condiciones de isomorfismo

Question

Aquí quiero plantear algunos problemas de verdadero o falso respecto a los isomorfismos (y si es falso, hay alguna condición extra para que sea verdadero). No sé cuál es el título correcto para estos problemas. Y también quiero algunas pruebas breves si es posible.

1. Sea $R$ y $R'$ sean dos anillos con $|R| =|R'|< \infty$ . Y cada ideal propio en $R$ es isomorfo a algún ideal en $R'$ . Entonces, ¿es cierto que $R\cong R'$ ? (y si es falso, ¿hay alguna condición adicional para que sea verdadero).

2. Sea $G$ y $G'$ sean dos grupos con el mismo orden ( $< \infty$ ). Si sus abelianizaciones son isomorfas, ¿es cierto que $G\cong G'$ .

3. Sea $\mathcal{D}$ sea una subcategoría de una categoría $\mathcal{C}$ . (1) Si $u$ es un isomorfismo de $\mathcal{D}$ es $u$ un isomorfismo de $\mathcal{C}$ ? (2) Si $v$ es un isomorfismo de $\mathcal{C}$ es $v$ un isomorfismo de $\mathcal{D}$ ? (y si es falso, ¿hay alguna condición adicional para que sea verdadero).

Answer 1

La respuesta a la pregunta nº 2 es no. Por ejemplo, el grupo diedro $D_4$ y el grupo de cuaterniones $Q_8$ ambos tienen orden $8$ y abelianización $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2$ . (Esto implica, entre otras cosas, que tienen la misma tabla de caracteres.) La teoría de grupos sería muy aburrida si algo así fuera cierto.