En la figura siguiente. Hay dos círculos superpuestos y la zona de la Media Luna en Rojo que he encontrado es $A_{C} = \frac{\pi rw}{2}$ , donde $w$ es el desplazamiento desde el centro $'X'$ en azul a $'X'$ en rojo.
Detalles: $$A_C = \frac{A_{elipse} - A_{circle}}{2} = \frac{[\pi r^2 + \pi r w] - \pi r^2}{2}$$
WLOG, suponga que ambos centros se encuentran en el $x$ -eje. Puedes usar este diagrama después:
Como el área del círculo es $A=\pi r^2$ entonces el área de la media luna debe ser: $$A_{\text{crescent}}=\pi r^2-(2A_{\text{sector }EAF}-2A_{\triangle AEF})$$
Esto se debe a que $A_{\text{sector }EAF}=A_{\text{sector }ECF}$ y también su correspondiente triángulo. Como el área de un sector es $A=\frac12r^2 \theta$ con $\theta$ en radianes, y el área del triángulo es $A=\frac12ab\sin C$ . Entonces el área de la media luna se puede reescribir como: $$A=\pi r^2-\alpha r^2+r^2\sin\alpha\\ \implies A=r^2(\pi-\alpha+\sin \alpha)$$
hmm... Gracias por su solución. Como nota al margen, ¿qué software has utilizado para dibujar tus figuras? Parece muy elegante para los escritos técnicos. Parece que su respuesta es correcta. Lo notificaré como solución después de resolverlo yo también ^_^
Tenga en cuenta que para $w=r$ obtenemos
$$A_C=\frac{\pi r^2}{2}$$
lo que parece ser un error.
Además, ¿cómo viene el área de la elipse en la derivación?
La fórmula general se encuentra en Superposición de círculos .
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