"Aislado" de piezas en las figuras de triángulos

Question

Consideremos la figura del plano Euclidiano compuesto de un número finito de no degenerada no superposición de triángulos (es decir, no hay triángulo tiene un cero de la zona y no dos triángulos tienen ningún punto interior en común).

Dos triángulos son vecinos si tienen al menos dos puntos en común (es decir, que comparten una porción del lado de la no-longitud cero, por lo que, de hecho, un número infinito de puntos).

Debe haber al menos un triángulo que tiene más de tres vecinos?

Es este un problema conocido?

Gracias de antemano.

Answer 1

Buena pregunta!! Aquí es una respuesta parcial, en virtud de una presunción.

Suponga que no hay dos vértices de triángulos diferentes coinciden en el plano.

Crear un gráfico dirigido a $G$, un nodo por cada triángulo, de la siguiente manera. Si un vértice del triángulo $A$ se encuentra necesariamente en el interior de un vecino-relación de la mediación de borde de triángulo $B$, a continuación, añadir a $G$ un arco dirigido de$A$$B$. Así, cada vecino relación agrega uno o dos arcos a $G$: si un borde de $A$ es un subconjunto de un borde de $B$, y de dos, uno en cada dirección, si un borde de $A$ superpone parcialmente un borde de $B$:
          
Cada triángulo puede dar lugar a que en la mayoría de los tres arcos de $G$, debido a que cada arco consume un vértice: $|G| \le 3n$ $n$ triángulos. El número de vecino de relaciones es mayor el número de aristas de $G$.

Supongamos que cada triángulo tenido por lo menos cuatro vecinos. A continuación, $G$ $\ge 4n$ bordes.