El orden de los productos de los elementos finitos grupo Abelian

Question

Queremos mostrar que si $a,b\in G$ donde $G$ es de un número finito de Abelian grupo, tenemos $\operatorname{LCM}(|a|,|b|) = |ab|$ que $ab \neq e$.

Cómo me acerqué a esta pregunta fue por decir que $\operatorname{LCM}(|a|,|b|) = L$. Luego, si se demuestra que $L$ divide $|ab|$ $|ab|$ divide $L$$|ab| = L$. Mostrando que $|ab|$ divide $L$ estaba bien. Pero entonces yo estoy teniendo problemas con la segunda parte que está mostrando el $L$ divide $|ab|$. Para esto, así que ahora tengo:

Considere la posibilidad de $(ab)^{|ab|} = e = a^{|ab|}b^{|ab|} $ ya sabemos $a \neq b^{-1}$ por supuesto, entonces podemos concluir que $|a|$ divide $|ab|$ $|b|$ divide $|ab|$. Sabemos que $L = \frac{|a||b|}{\operatorname{gcd}(|a|,|b|)}$ a partir de aquí podemos concluir que $L$ divide $|ab|$?

Answer 1

El declaró resultado es malo

En el (de forma aditiva escrito) grupo cíclico $\Bbb Z/6\Bbb Z$ orden$~6$, los elementos $a=1$$b=2$, respectivamente, tienen órdenes de $|a|=6$$|b|=3$. A continuación,$L=\operatorname{lcm}(6,3)=6$, pero ese no es el orden de $a+b=3$, ya que este elemento tiene orden de$~2$. Así que la declaración se produce un error.

Esto también muestra que su argumento de que $|a|$ $|b|$ brecha $|ab|$ no puede trabajar. Usted parece pensar que, puesto que $a,b$ no son inversos el uno del otro, $a^m$ $b^m$ no son inversos el uno del otro, con $m=|ab|$. Pero en el ejemplo $m=2$, y aquí es el caso de que $a^2$ $b^2$ son inversos el uno del otro (de forma aditiva escrito estos elementos se $2a=2$$2b=4$). Cuando usted dice, "por supuesto, entonces podemos concluir que $|a|$ divide $|ab|$" no está claro qué suposición de que usted se refiere, pero su conclusión es equivocada.

Answer 2

Pero entonces yo estoy teniendo problemas con la segunda parte que es la de mostrar |ab| divide L.

Recordar que si $g\in G$$g^n=e$, entonces esto implica implica $|g|$ divide $n.$ $(ab)^L = e \implies |ab|$ divide $L.$

Editar: Si usted está tratando de mostrar que $L$ divide $|ab|$, entonces con respecto a tu última pregunta, el trabajo, sabiendo que $$L = \frac{|a||b|}{\gcd(|a|,|b|)}$$ tells you $L$ divides $|a||b|$. If you can show it follows that $$L = \frac{|ab|}{\gcd(|a||b|)}$$ then you have shown that $L$ indeed divides $|ab|$.