Cómo demostrar que $\left(\sqrt{3}\sec{\frac{\pi}{5}}+\tan{\frac{\pi}{30}}\right)\tan{\frac{2\pi}{15}}=1$

Question

De este problema de geometría, no puedo encontrar la solución de geometría. Sin embargo, la respuesta es $X=\frac{2\pi}{15}$ por el método de la geometría.

Entonces obtengo la identidad $$\left(\sqrt{3}\sec{\frac{\pi}{5}}+\tan{\frac{\pi}{30}}\right)\tan{\frac{2\pi}{15}}=1.$$

¿Cómo demostrarlo por el método trigonométrico?

Gracias por adelantado.

Answer 1

Yo trataría de usar eso $$\frac{1}{5} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1}{30},$$ $$\frac{4}{3} - \frac{6}{5} = \frac{2}{15}.$$ Y la fórmula: $$ \tan(a\pm b) = \frac{\tan a \pm \tan b}{1 \mp \tan a\tan b}. $$

Answer 2

Esta no es una respuesta totalmente esbozada. Disfruté mientras la repasaba y por eso pensé que a otros les podría gustar.

Desde $\displaystyle\sin\frac{\pi}{10}=\frac{1}{4}(\sqrt{5}-1)$ obtenemos $\displaystyle\sin\frac{\pi}{30}=\frac{1}{8}(\sqrt{30-6\sqrt{5}}-1-\sqrt{5})$ y en consecuencia $$\tan\frac{\pi}{30}=\sqrt{7-2\sqrt{5}-2\sqrt{15-6\sqrt{5}}}$$ Ahora bien, como $\displaystyle\cos\frac{\pi}{5}=\frac{1}{4}(\sqrt{5}+1)$ obtenemos $\displaystyle\cos\frac{\pi}{15}=\frac{1}{8}(\sqrt{30+6\sqrt{5}}-1+\sqrt{5})$ y en consecuencia $$\tan\frac{\pi}{15}=\frac{1}{\sqrt{7+2\sqrt{5}+2\sqrt{15+6\sqrt{5}}}}$$ que a su vez implica $$\tan\frac{2\pi}{15}=\frac{\sqrt{7+2\sqrt{5}+2\sqrt{15+6\sqrt{5}}}}{3+\sqrt{5}+\sqrt{15+6\sqrt{5}}}$$ Por último, hay que tener en cuenta que $\displaystyle\cos\frac{\pi}{5}=\frac{1}{4}(\sqrt{5}+1)$ . Juntando todo esto y después de un buen rato gastado en la simplificación obtenemos el resultado.

Answer 3

Necesitamos $\displaystyle\sqrt3\sec\frac\pi5+\tan\frac\pi{30}=\cot\frac{2\pi}{15}=\tan\dfrac{11\pi}{30}$ como $\dfrac{2\pi}{15}+\dfrac{11\pi}{30}=\dfrac\pi2$

$\iff\displaystyle\sqrt3\sec\dfrac\pi5=\tan\dfrac{11\pi}{30}-\tan\dfrac\pi{30}$

$\iff\displaystyle\dfrac{\sqrt3}{\cos\dfrac\pi5}=\frac{\sin\left(\dfrac{11\pi}{30}-\dfrac\pi{30}\right)}{\cos\dfrac\pi{30}\cos\dfrac{11\pi}{30}}$

Como $\sin\left(\dfrac{11\pi}{30}-\dfrac\pi{30}\right)=\sin\dfrac\pi3=\dfrac{\sqrt3}2,$

$\iff\displaystyle\cos\frac\pi5=2\cos\frac\pi{30}\cos\dfrac{11\pi}{30}=\cos\dfrac\pi3+\cos\frac{2\pi}5$

$\iff\displaystyle\cos\frac\pi5-\cos\frac{2\pi}5=\cos\dfrac\pi3=\dfrac12$

Ver ahora Prueba de la ecuación trigonométrica $\cos(36^\circ) - \cos(72^\circ) = 1/2$